f考频道'1rzhongshucan2021年第1期
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中学数学教学参考（中旬）
迟磊（山东省胶州市第二初级实验中学）
刘乃志（山东省胶州市第十七中学）文章编号：1002-2171 (2021)卜0067-03
1学情分析
学生在学习“锐角三角函数”之前已经学习了直角三角形的边边关系（如勾股定理）、角角关系（如直 角三角形的两个锐角互余）等知识，也接触过一些特殊的边角关系，如“在直角三角形中，如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，在“锐 角三角函数”这一章中又更加深人地学习了锐角三角 函数的定义、特殊角（30°,45°，60°)的三角函数值，能 进行解直角三角形，并应用锐角三角函数的相关知识 解决生活中的实际问题。
2教材分析点：（1)利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角
函数（sin A，cos A，tan A)，知道 30。，45。，60。角的三
角函数值；（2)会使用计算器由已知锐角求它的三角函
数值，由已知三角函数值求它的对应锐角43)能用锐
角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简
单的实际问题。中考主要考查利用锐角三角函数解直
角三角形，所以本节内容也是发展学生数感、符号意
识、几何直观、运算能力等数学核心素养的重要载体。
3复习目标
(1) 能求直角三角形和斜三角形中锐角内角的三 角函数值，能进行含30°，45°和60°角的三角函数的运
算，能应用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形，
能利用锐角三角函数的相关知识解决实际问题。
(2) 通过典型例题，进一步体会数形之间的联系，培养学生的运算能力，发展学生的数形结合思想、模
型思想和方程思想。
(3) 培养学生用数学的眼光建立锐角三角函数模 型的意识，增强学生发现和提出问题、分析和解决问
题的能力。
4教学设计
“锐角三角函数及其应用”是北师大版教材九年级下册第一章“直角三角形的边角关系”的内容，属于 初中数学“图形与几何”中的重要内容。《义务教育数 学课程标准（2011年版）》对这一章的基本要求有三4.1复习回顾，建立体系
展示“锐角三角函数及其应用”的思维导图，如图 1，从概念、性质、计算、应用和思想方法五个方面逐一 回顾本章知识，对基本概念进行提问和板书。
功能分析：通过思维导图，从概念、性质、计算、应 用和思想方法五个方面对这一部分知识进行整体复习，建立知识体系，从整体上为学生建立锐角三角函数及其应用的数学模型，主要从锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形和锐角三角函数的应用四部分进行知识体系构建，
培养学生数形
2021年第1期jKr*
中学数学教学参考（中旬）
结合、转化、方程等思想，发展数学思维品质，提升核 心素养。
教学示范：思维导图展示的核心问题较为全面,
教师应进行分解，针对概念中的每个知识点进行师生 互动提问或者生生互动提问，让学生明确锐角三角函 数及其应用的基础知识，对于性质、计算和应用则可 以通过后面的题目进行体现，这样，让学生先见“森 林”，再逐一见“树木”，并以学生数学思想的发展作为 主线进行串联，让思维导图既贯穿本章内容，又贯穿 学生的思维体系，建议教学时间为3分钟。4.2例题展示，合作探究
例1
如图2，在正方形网
格中，A A B C 的顶点均在格点 上，则tan A 的值为（
）。
A y r 〇 ^ 3 /!〇
A. 丁
B.
C-T
D •音
功能分析：设置钝角三角形中锐角正切值的求
解，旨在让学生明确两点：（1)锐角三角函数必须在直 角三角形中才可以求出，形成构造直角三角形求解锐
角三
角函数问题的意识和习惯；（2)锐角三角函数与
锐角所构造出的直角三角形有关，而与锐角作为内角 所在的三角形无关，即锐角三角形或者钝角三角形中 的锐角内角也存在三角函数值。
教学示范：让学生出示答案，若答案是正确的，可
以让学生讲解，教师进行规范和强调“必须构造直角 三角形才可以求锐角三角函数”；若学生给出的答案 是错误的，则让学生说明求解过程，暴露学生的错误， 寻原因，并加以改正和强调。常见错误为将tanA 的值用^来求解，而正确构造直角三角形的方式为过点B 向A C 所在直线作垂线，得到的直角三角形 中，
的对边长度为3，Z A 的邻边长度为4，从而
求得tan A = 了，故选C 。
例 2 在 RtAABC 中，
90°，Z A ，Z B ，Z C
所对的边分别为<2，6，c ，且《 = 5，^^ = 30°，求这个三 角形的其他元素。
解：在 RtAABC 中，Z C =90°，Z A = 30°，所以
Z B =90〇-Z A = 60\ H ^s i n A = f ,a = 5，MW
B
科学计算器使用c
图2
^ = 5V 3〇 H jtt，Z B = 60°,c =10,6=5^0
功能分析：解直角三角形既是锐角三角函数的基
本应用，又是应用题的基础解题方法，在求解综合问题中起着至关重要的作用。本题将已知角设置为特 殊角，起到理解特殊角的三角函数值的作用，也便于 学生用勾股定理进行计算，体现一题多解的发散 思维。
教学示范：教师通过绘制直角三角形，标注已知
条件，让学生分析解题思路，进而板书解题过程，规范 答题步骤，最后可以总结解直角三角形的两类考查方
式和思路。
(1)
已知两边：①先用勾股定理求出第三边；②用
这已知两边的三角函数求出相应的角；③根据直角三
角形的两个锐角互余求出另一个锐角，并写出结论。
(2) 已知一边和一个锐角：①先根据直角三角形 的两个锐角互余，求出另一个锐角；②根据已知边和 已知锐角，求出相应的边；③根据已知边和已知锐角， 利用其他的三角函数求出第三边（有时可用勾股定理 求第三边），并写出结论。
例3 如图3，一艘货轮以北 36海里/时的速度在海面上航 行，当它行驶到A 处时，发现它 的东北方向有一灯塔B 。货轮 继续向北航行40分钟后到达C 处，发现灯塔B 在它北偏东75°
图3
方向，求此时货轮与灯塔B 的距离（结果精确到 0. 01 海里，参考数据：sin 75° 〜0• 9659，cos 75° 〜 0. 2588，tan 75°〜3. 7321)。
C
75
解法1：如图4，作J 3D 丄
AC ，垂足为D ，设的长度为 工海里。由
题
意
知
=
450，Z B C D =75°0
在Rt A A B D 中，因为
tan 45°=普，所以 BD =AD =:r 。
图4
在 RtABCD 中，Z B C D =75°，因为 tan 75°
BD CD ，所以CD =BD
tan 75° 3.7321
:0.2679:c 。因为
A C=A D —CD ，所以：r —0. 2679:c = 36X ^，解得：
〇032.7824。
<：=
-^ = 10。因为 tan A = f
，a =
5，所以 6=
在 RtABCD 中.因为 sinZBCD = Sin 75° = ^
，
sin J \
o
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_中学数学教学参考（中旬
所以
B D32.7824
^33. 94c
sin 75° 0.9659
答：此时货轮与灯塔B的距离约为33. 94海里£解法2：如图5，作C D丄f7
A B，垂足为D。由题意知Z A=
45°,Z B=30°, A C=36X 40 60：
24(海里）。
在 RtAACD 中，Z A=45°
CD
75图5
因为 sin 45°=$，所以 C D=A C•sin 45°=12在。
在 Rt A B C D中，=30°，因为 sin30°CD B C'
n r\
m W B C="r^^ = 24V^^24X1.414〜33.94。
sin 30
答：此时货轮与灯塔B的距离约为33. 94海里。
功能分析：本题旨在为学生建立锐角三角函数应 用的数学模型，培养学生借助数形结合思想、利用解 直角三角形相关知识解决实际问题的能力，通过一题 多解发散学生数学思维，发展学生符号意识、运算能 力、推理能力、数形结合思想、转化思想和模型思想。
教学示范：教师引导学生分析条件，寻合理的 辅助线构造两个直角三角形，从而将斜三角形转化为 直角三角形，将这两个直角三角形的共边或者部分共 边作为联系纽带，结合方程思想建立方程，从而
解决 问题。教师也可以为学生总结锐角三角函数的应用在建立模型时有两种原始模型（如图6所示），并且这两种模型不是独立的，而是可以相互转化的。
B A
(2)
图6
4.3收获感悟，归纳总结
从知识、技能、情感和数学思想四个方面总结“锐 角三角函数及其应用”的收获，不仅为学生建立知识框架，培养数学建模能力，而且培养学生的数学思想，发展学生的数学思维能力，促进学生的全面发展。
4.4中考衔接，拓展提升
为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某 森林保护区开展了寻古树活动。如图7，在一个坡 度（或坡比）i=l:2.4的山坡AJ3上发现有一棵古树 C D，测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26 m，在距山脚点A水平距离6 m的点E处测得古树顶端D的仰角ZA ED=48° (古树
C D与山坡的剖面、点£在
同一平面上，古树C D与直线
垂直），则古树C D的高度约
为多少？
(数据：sin48° 义0. 74，
cos 48〇;=w〇. 67,tan 48〇«a l. 11)
答案：23.3m。
功能分析：利用中考试题让学生感受中考考点和 考查方式。本题主要考查坡度和锐角三角函数，通过 构造直角三角形和构建一元一次方程来解决实际问题，培养学生数学思维能力，感悟数学模型的价值。
教学示范：教师引导学生作辅助线，延长D C交 E A于点F，构造两个直角三角形，在R t A A C F和R tA D£F中分别用坡度和锐角三角函数知识求得C F，A F和D F的长度，从而求得古树C D的高度。在教学过程中，注重数形结合思想、方程思想的渗透，坚持让学生进行相关计算，培养学生运算能力。
5设计说明
本节复习课是从全局对“锐角三角函数及其应用”这一章内容进行的系统复习，高屋建瓴地为学生建立
知识框架，培养学生应用数学、建立数学模型的意识，发展学生的数形结合思想、转化思想和模型思想，提高 学生的运算能力和推理能力，提升学生核心素养。
笔者认为，数学复习课不是快速练习课，而是构建 知识体系的过程，是对已学知识的再次认知，以加深加 强对知识的理解，而不是重复运算，也应该遵循教育教 学发展规律，由易及难、由低到高，有梯度、有层次感，既要顾及基础知识，又要提高思维含量，既要注重数学 思想的培养，又要注重思维品质的提升，是培养学生应 用数学知识解决实际问题能力的重要方式。
深度学习是培养学生核心素养的有效途径，学生 在教师的带领下，围绕具有一定挑战性的学科主题核 心知识，通过合作学习和主动学习等方式全身心地积 极参与，通过学科知识的建构，回归学科本质内容，体 验成功并获得发展的有意义的学习过程，从而一步步 地登上知识的高楼大厦，获得适应终身发展和社会发 展的必备品格和关键能力。
*本文系青岛市“十三五”教育科学规划课题“基于数学核心素养的初中数学章节起始课教学设计研究”（批准号：QJK135D388)的阶段性研究成果。
(未完待续）
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