王凯成(陕西省小学教师培训中心 710600)
笔者在文[1]指出宋代数学家和数学教育家杨辉制作三阶幻方（即九宫图）的方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”有很大的局限性，对用1、3、4、5、6、7、8、9、11制作一个三阶幻方就不适用，笔者提出了能引发学生思考的“制作三阶幻方的通法”：
1.求幻和：(1+3+4+5+6+7+8+9+11)÷3=18；
2.拆幻和：18=11+1+6=11+3+4=9+1+8=9+3+6=9+4+5=8+3+7=8+4+6=7+6+5；
3.统计：
所给数 | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 11 |
出现次数 | 2 | 3 | 3 | 2 | 4 | 2 | 3 | 3 | 2 |
4.填幻方：首先确定最中间数(统计中出现4次的数)，其次确定四角数(统计中出现3次的数)，最后填出三阶幻方.
9 | 1 | 8 |
5 | 6 | 7 |
4 | 11 | 3 |
6 | ||
9 | 8 | |
6 | ||
4 | 3 | |
(确定中间数) (确定四角数) (三阶幻方)
实际上，根据数的大小位置，也能快速制作出三阶幻方.
(数方阵1) (数方阵2)
定理2：设，如果用能制作一个三阶幻方(数方阵1)，∈.那么：
(2).
(3). 最大的数不在对角线的两端上.
(4). 第二大的数在对角线的两端上.
依次证明(1)、(2)、(3)、（4）.
证明： ①如果＞. 设=，则幻和H=3.
由三阶幻方知：第二行、第二列、左斜行、右斜行上两端两数之和为2. 把第二行、第二列、左斜行、右斜行上两端两数各看作一个抽屉，再把这5个数放到上述4个抽屉中，必有一个抽屉有中的两个数，这两个数的和小于2≤2. 矛盾！所以≤.
②如果＜，设=，则幻和H=3.
由三阶幻方知：第二行、第二列、左斜行、右斜行上两端两数之和为2. 把第二行、第二列、左斜行、右斜行上两端两数各看作一个抽屉，再把这5个数放到上述4个抽屉中,必有一个抽屉有中的两个数,这两个数的和大于2≥2. 矛盾！所以≥.
由①及②知：若，由构成三阶幻方，必有.
定理2的(1)得证.
由是三阶幻方的最中间数知：第二行、第二列、左斜行、右斜行上三数之和为H=3且H= = = =.
其中∈.
以下用反证法证明.
假设＞，即有∈，那么必有一个是，不妨设是，
这样H ===，但由及＞有：H =＞=H，矛盾！所以必有.
同理依次可证：，，.
所以有：H = = = =.
定理2的(2)得证.
以下用反证法证明最大的数不在对角线的两端上.
假设在对角线的两端的某端点，不妨设在左斜对角线的上端，如数方阵2所示.
由＞及＞知，，所以，不能取，只能取这三个数，这与
==H中是四个数不相符，故知不在对角线的两端上.只能在第2行或第2列的两端.
定理2的(3)得证.
以下直接构造证明第二大的数在对角线的两端上.
不妨设在左斜对角线的上端，由于不在对角线的两端上，设在第2列，又由=H知，不能再同一行和同一列，只能在第2列的下端，在第2列的上端. 如数方阵3所示.
(数方阵3) (数方阵4) (数方阵5)
由此可以推出=H――. 由＜及＜
+知，且. 这样只有=或=.
如果=，由=H知，在第三行第一列. 再由＞=
H知，第二行第一列只能填. 那么第二行第三列填. 构成的三阶幻方如数方阵4所示.
如果=，可推出三阶幻方如数方阵5所示.
定理2的(4)通过构造得证.
由定理1及定理2可知：三阶幻方由所给9个数从小到大排列的“中位数”、“最大数”、“最小数”、“第二大数”、“第二小数”这5个数确定(见数方阵6)，其中“最大数”＋“最小数”=“第二大数”＋“第二小数”=“中位数”×2. 所以把“最大数”用“中位数”×2－“最小数”替换，把“第二大数”用“中位数”×2－“第二小数”替换， 构成数方阵7. 所以根据定理1、定理2及所给9个数从小到大排列的位置关系就能快速制作出三阶幻方，就是由数方阵7确定的三阶幻方------数方阵8. 由此可见：组成三阶幻方的9个数必须满足数方阵8所示各数之间的内在关系.
“中位数”×2－“第二小数” | 最小数 | ※ |
中位数 | ||
“中位数”×2－“最小数” | 第二 小数 | |
(数方阵6) （数方阵7）
(数方阵8)
由数方阵8可见，三阶幻方由所给9个数的最小数、第二小数、中位数这3个数唯一确
定.把数方阵8中的“最小数”换成“最大数”，“第二小数”换成“第二大数”，仍然是三
阶幻方. 可见,三阶幻方也可由所给9个数的最大数、第二大数、中位数这3个数唯一确定.可以推出：当“最小数”×2 +“中位数” ≥“第二小数”×3时, “杨辉方法”制作三阶幻方有效(见数方阵4)；当“最小数”×2 +“中位数”<“第二小数”×3时, “杨辉方法”制作三阶幻方失效(见数方阵5).
结论: 三阶幻方九宫数，一行中间最小(大)数，二行中央中位数，三行最右二小(大)数，幻和中位三倍数，由此推出空格数.
例1 用1、3、4、5、6、7、8、9、11制作一个三阶幻方.
解：由于6是从小到大的中位数，所以6填在三阶幻方中央即第二行第二列，三阶幻方的幻和为6×3=18.
最小的数是1，1填在第一行的中间位置. 第二小数是3, 3填在幻方的右下角即第三行第三列. 如图数方阵9所示.
然后可以计算出第一行第一列的数为6×2－3=9， 第一行第三列的数为18－9－1=8， 第三行第一列的数是6×2－8=4.其它各数随之可以确定. 数方阵10就是三阶幻方.
1 | ||
6 | ||
3 | ||
(数方阵9) (数方阵10)
例2 用－4、－3、－2、－1、0、1、2、3、4制作一个三阶幻方(见人教版初中数学教材七年级上册第20、21页).
解：由于0是从小到大的中位数，所以0填在三阶幻方中央，三阶幻方的幻和为0×3=0.
最小的数是(－4)，所以(－4)填在第一行第二列. 第二小数是(－3), (－3)填在幻方的右下角. 如图数方阵11所示.
然后可以计算出第一行第一列的数为0×2－(－3)=3，第一行第三列的数为0－3－(－4)=1，第三行第一列的数是0×2－1=－1. 其它各数随之可以确定. 数方阵12就是三阶幻方.
3 | －4 | 1 |
－2 | 0 | 2 |
－1 | 4 | －3 |
－4 | ||
0 | ||
－3 | ||
(数方阵11) (数方阵12)
参考文献
1.王凯成，制作三阶幻方的通法，中学数学教学参考[J]，2005年第4期P25.
2.高治源，九宫图探秘，香港天马图书有限公司[M]，2004年1月第1版.
本文发表在全国中文核心期刊中学数学教学参考初中版2014年第5期P67--68.
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