2023年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，本大题共10小题，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（）
A．+40元B．﹣40元C．+20元D．20元
2．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣1，3）向右平移5个单位得到的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，8）C．（4，3）D．（﹣6，3）3．（3分）一组数据2，3，4，2，5的众数和中位数分别是（）
A．2，2B．2，3C．2，4D．5，4
4．（3分）下列运算正确的是（）
A．a+a2＝a3B．（﹣3a）2＝6a2C．D．a2•a3＝a5 5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则cos A的值是（）A．B．C．D．
6．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；
二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若AD⊥BC于点F，∠E＝75°，则∠BAC的度数为（）
A．65°B．70°C．75°D．80°
8．（3分）如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角形，俯视图是直径为6的圆，则这个几何体的全面积是（）
A．24πB．21πC．15πD．12π
9．（3分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）
A．x≥B．x≤3C．x≤D．x≥3
10．（3分）已知方程x2﹣2023x+1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为（）A．1B．2023C．﹣1D．﹣2023
二、填空题（每题3分，本大题共6小题，共18分．）
11．（3分）计算：|﹣2|+＝．
12．（3分）分解因式：9a3﹣ab2＝．
13．（3分）若抛物线y＝x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为．14．（3分）已知直线y＝﹣2x+1向下平移m（m＞0）个单位后经过点（1，﹣3），则m的值为．
15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B
的直线交OP的延长线于点C，若CP＝CB，OA＝3，OP＝1，
则BC的长为．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，CD是△ABC的中线，E 是边BC上一动点，将△BED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于点G，当△DFG是直角三角形时，则CE＝．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）
解不等式3x﹣4＜x，并把解集在数轴上表示出来．
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18．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，连接AC．求证：△ABC≌△CDA．
19．（6分）已知T＝4n（n﹣2m）﹣（m﹣2n）2+m2．
（1）化简T；
（2）若m，n是菱形ABCD两条对角线的长，且该菱形的面积为3，求T的值．
20．（6分）北京冬奥会期间，学校为了解学生最喜欢的冰雪运动，从全校随机抽取了部分学生进行了问卷调查，每个被调查的学生从滑雪、滑冰、冰球、冰壶这4种冰雪运动中选择最喜欢的一项．该小组将调查数据进行整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）这次调查中，一共调查了名学生，请补全条形统计图；
（2）若全校有2600名学生，则估计该校最喜欢“滑冰”运动项目的有名学生；
（3）已知选冰壶的4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，学校想要从这4名学生中随机抽取2名学生进行访谈．请用画树状图或列表法求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
21．（8分）班级组织同学乘大巴车前往研学基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．张老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．
（1）大巴与小车的平均速度分别是多少？
（2）张老师追上大巴的地点距离基地的路程有多远？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，AD ＝8，AB＝6，对角线AC，BD相交于点E．反比例函数的图象经过点E，分别与AD，BC交于点F，G．
（1）若OB＝8，求反比例函数的解析式；
（2）连接EG，若AF﹣AE＝2，求△BEG的面积．
23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，AD是⊙O的切线．（1）尺规作图：过点B作AC的平行线交AD于点E，交⊙O于点F，连接AF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：AF＝BC；
（3）若⊙O的半径长为，BC＝4，求EF和BF的长．
24．（12分）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝120°．连接BD，总有∠DBC＝∠DAB+60°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）点F是线段CD的中点，连接BF．
①写出线段AD，BD，BF之间的数量关系，并给出证明；
②延长AD，BF相交于点N，连接CN，若，求线段CN长度的最小值．
25．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+2kx﹣k2+4的顶点为H，与y轴交点为A，点P（a，b）是抛物线上异于点H的一个动点．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，请用含a的式子表示b；
（2）若a＝1，作直线HP交y轴于点B，当点A在x轴上方且在线段OB上时，直接写出k的取值范围；
（3）在（1）的条件下，记抛物线与x轴的右交点为C，OA的中点为D，作直线CD，过点P作PF⊥CD于点E并交x轴于点F，若a＜3，PE＝3EF，求a的值．