《数列》第二课时　
等比数列的性质及实际应用
课标要求
素养要求
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
通过推导等比数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
新知探究
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，
如图所示.我们来数一数图中那些白的同一类三角形的个数，可以得到一列数：1，3，9，27，……，我们知道这是一个等比数列.
问题　在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？
提示　在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq.
常用等比数列的性质
1.如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al.
2.如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝a.
3.若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列.
4.在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.
5.如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.
6.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….
拓展深化
[微判断]
1.知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项.(√)
2.若{an}为等比数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am·an＝ap.(×)
提示　∵{an}为等比数列，m＋n＝p，∴am·an＝a1qm－1·a1qn－1＝aqm＋n－2.又知ap＝a1qp－1，∴am·an≠ap.
3.若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.(×)
提示　反例：{an}为：1，－1，1，－1，…，{bn}为－1，1，－1，1，…，则{an＋bn}为：0，0，0，0，…，显然不是等比数列.
4.若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.(×)
提示　反例：1，3，2，6，4，12，…显然满足条件，但不是等比数列.
[微训练]
                  　
1.已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(  )
A.±      B.－ 
C.      D.±
解析　根据等比数列的性质可知
a1a5＝a⇒a5＝＝.
答案　C
2.在等比数列{an}中，已知a3＝1，a5＝4，a12＝8，则a10＝________.
解析　由a3a12＝a5a10得1×8＝4a10，解得a10＝2.
答案　2
[微思考]
1.在等比数列{an}中，若am·an＝ak·al，是否有m＋n＝k＋l成立？
提示　不一定成立，如an＝2，a1a2＝a3a4，但1＋2≠3＋4.
2.若数列{an}是各项都是正数的等比数列，那么数列{lg an}还是等比数列吗？
提示　是等差数列.
题型一　等比数列性质的应用
【例1】　已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a9a10)
竹子实际是什么＝log395＝10.
【迁移1】　在例1(1)中，添加条件a1a7＝4，求an.
解　由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由例1(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，
若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3；
若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25－n.
【迁移2】　把例1(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解　a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，
即a1a2a3…a10＝1，
则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0.
规律方法　巧用等比数列的性质解题
(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法.
①基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；
②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.
(2)利用等比数列的性质解题
①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
【训练1】　(1)在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则＝(  )
A.或      B.
C.或      D.或
(2)公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
解析　(1)由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，
若a4＝2，a14＝3，则q10＝，即＝；
若a4＝3，a14＝2，则q10＝，即＝.
(2)由a3＋a11＝2a7，且2a3－a＋2a11＝0，得4a7－a＝0得a7＝4(a7＝0不合题意，舍去)，
所以b6b8＝b＝a＝16.
答案　(1)A　(2)16
题型二　等差数列与等比数列的综合问题
【例2】　已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值.
解　(1)设数列{an}的公差为d，由题意知
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)由(1)可得Sn＝＝＝n(1＋n).
因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a＝a1Sk＋2，从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，