matlab符号计算实验⼼得,Matlab符号计算总结
第六章 Matlab符号计算
在科学研究和⼯程应⽤中，除了存在⼤量的数值计算外，还有对符号对象进⾏的运算，即直接对抽象的符号对象进⾏的计算，并将所得到的结果以标准的符号形式来表⽰。符号计算可以得到⽐数值计算更⼀般的结果。Matlab的符号计算是通过集成在Matlab中的符号运算⼯具箱(Symbolic Math Toolbox)来实现的。本章主要介绍符号计算基础，符号微积分，级数的符号求和，代数⽅程和微分⽅程的符号求解等内容。
⼀．符号计算基础
⼀．符号对象
1． 建⽴符号变量和符号常量
matlab提供了两个建⽴符号对象的命令：sym和syms。其⽤法不同。
①sym函数
sym函数⽤来建⽴单个符号量，格式为：
符号量名=sym(符号字符串)
该函数可以建⽴⼀个符号字符串，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。如：a=sym(' a ')将建⽴符号变量a，此后⽤户可以在表达式中使⽤变量a进⾏各种运算.符号变量a和在其他过程中建⽴的⾮符号变量a是不同的。⼀个⾮符号变量在参与运算前必须赋值，变量的运算实际上该变量所对应值的运算，其运算结果是⼀个和变量类型对应的值，⽽符号变量参与运算前⽆须赋值，其结果是⼀个由参与运算的变量名组成的表达式。
a=sym('a'); ％定义符号变量
b=sym('b');
c=sym('c');
x=5; ％定义数值变量
y=-8;
z=11;
w=a*a+b*b+c*c ％符号运算
w =
a^2+b^2+c^2
w=x*x+y*y+z*z ％数值运算
w=
210
使⽤sym函数还可以定义符号常量，使⽤符号常量进⾏代数运算时和数值常量进⾏的运算不同。下⾯⽐较差别：
pi1=sym('pi');k1=sym('8');k2=sym('3'); ％定义符号变量
pi2=pi;r1=8;r2=3; ％定义数值变量
sin(pi1/3) ％符号计算
ans =
sin(pi2/3) ％数值计算
ans =
0.8660
sqrt(k1+sqrt(k2)) ％符号计算
ans =
(8+3^(1/2))^(1/2)
sqrt(r1+sqrt(r2)) ％数值计算
ans =
3.1196
从命令执⾏结果来看，⽤符号常量进⾏计算像在进⾏数学演算，所得到的结果是精确的数学表达式，⽽数值计算将结果近似为⼀个有限的⼩数。
②syms命令
matlab求导sym函数⼀次只能定义⼀个符号变量，使⽤不⽅便。Matlab提供了syms命令，⼀次可以定义多个符号变量。其格式：
syms arg1 arg2 … argn
arg1 arg2 … argn是定义的符号变量名，注意变量间⽤空格⽽不要⽤逗号分隔。
2．建⽴符号表达式
含有符号对象的表达式称为符号表达式，建⽴符号表达式有以下3种⽅法：
①利⽤单引号⽣成符号表达式
y='1/sqrt(2*x)' ％⽣成⼀般的符号表达式
y =
1/sqrt(2*x)
f='cos(x^2)-sin(2*x)=0' ％⽣成符号⽅程
f =
cos(x^2)-sin(2*x)=0
②⽤sym函数建⽴符号表达式
U=sym('3*x^2-5*y+2*x*y+6') ％⽣成符号表达式，不需定义变量
U =
3*x^2-5*y+2*x*y+6
M=sym('[a,b;c,d]') ％⽣成符号矩阵
M =
[ a, b]
[ c, d]
③使⽤已定义的符号变量组成符号表达式
V=3*x^2-5*y+2*x*y+6
V =
3*x^2-5*y+2*x*y+6
⼆．基本的符号运算
1．四则运算：
符号表达式的加减乘除可以分别利⽤函数symadd、symsub、symmul、symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。例：
f=‘2*x^2+3*x-5’ %定义符号表达式
g=‘x^2-x+7’
U=symadd(f,g) %求f+g
V=symsub(f,g) %求f-g
W=symmul(f,g) %求f*g
X=symdiv(f,g) %求f/g
Y=sympow(f,’3*x’) %求f^(3x)
另外，与数值运算⼀样，也可以⽤+ - * / ^运算符来实现符号运算。如：
syms x y z;
f=2*x+x^2*x-5*x+x^3+exp(2)
f=2*x/(5*x)
f=(x*x-y*y)/(x-y)
f =
(x^2-y^2)/(x-y) %有时，Matlab并未将结果化为最简形式。
2．符号表达式的提取分⼦和分母运算
如果符号表达式是⼀个有理分式或可以展开为有理分式，可利⽤numden函数来提取符号表达式中的分⼦、分母。调⽤格式[n,d]=numden(s)
该函数提取符号表达式s的分⼦和分母，分别存⼊n和d中
如a=sym(0.3333)
a =
3333/10000
[n,d]=numden(a)
n =
3333
d =
10000
再如：f=sym('a*x^2/(b+x)')
f =
a*x^2/(b+x)
[n,d]=numden(f)
n =
a*x^2
d =
b+x
3．符号表达式的因式分解和展开
Matlab提供了符号表达式的因式分解和展开的函数，
factor(s)，对符号表达式s进⾏分解因式
expand(s)，对s进⾏展开
collect(s)，对s进⾏合并同类项
collect(s,v)，对s按变量v合并同类项。
例
syms a b x y;
A=a^3-b^3;
factor(A)
ans =
(a-b)*(a^2+a*b+b^2)
s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2)
expand(s) ％对s展开
ans =
7*x^4-13*x^2*y^2-24*y^4
collect(s,x) ％对s按变量x合并同类项
ans =
7*x^4-13*x^2*y^2-24*y^4
4．符号表达式的化简
Matlab提供的对符号表达式化简的函数有：
simplify(s) ，应⽤函数规则对s进⾏化简
simple(s)，调⽤Matlab的其他函数对表达式进⾏综合化简，并显⽰化简过程。syms x y a
s=log(2*x/y);
simplify(s)
ans =
log(2)+log(x/y)
s=(-a^2+1)/(1-a)
simplify(s)
ans =
a+1
函数simple试⽤⼏种不同的化简⼯具，然后选择在结果中含有最少字符的那种形式。如下例：syms x y;
s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2
simple(s) ％下⾯是⾃动调⽤多种函数对s进⾏化简，并显⽰每步结果，以下是化简过程simplify:
2*x^4+2*y^4
radsimp:
2*x^4+2*y^4
combine(trig):
2*x^4+2*y^4
factor:
2*x^4+2*y^4
expand:
2*x^4+2*y^4
combine:
(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2
convert(exp):
(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2
convert(sincos):
(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2
convert(tan):
(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2
collect(x):
2*x^4+2*y^4
ans =
2*x^4+2*y^4
5．符号表达式与数值表达式之间的转换
利⽤函数sym可以将数值表达式变换为它的符号表达式：
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