实验10  数值积分
实验目的：
1．了解数值积分的基本原理；
2．熟练掌握数值积分的MATLAB实现；
3．会用数值积分方法解决一些实际问题。
实验内容：
积分是数学中的一个基本概念，在实际问题中也有很广泛的应用。同微分一样，在《微积分》中，它也是通过极限定义的，由于实际问题中遇到的函数一般都以列表形式给出，所以常常不能用来直接进行积分。此外有些函数虽然有解析式，但其原函数不是初等函数，所以仍然得不到积分的精确值，如不定积分。这时我们一般考虑用数值方法计算其近似值，称为数值积分。
10.1  数值微分简介
设函数在可导，则其导数为
              （10.1）
如果函数以列表形式给出（见表10-1），则其精确值无法求得，但可由下式求得其近似值
                （10.2）
表 10-1
                                ……
                                  ……
一般的，步长越小，所得结果越精确。（10.2）式右端项的分子称为函数在的差分，分母称为自变量在的差分，所以右端项又称为差商。数值微分即用差商近似代替微商。常用的差商公式为：
              （10.3）
                  （10.4）
                  （10.5）
其误差均为，称为统称三点公式。
10.2  数值微分的MATLAB实现
MATLAB提供了一个指令求解一阶向前差分，其使用格式为：
                          dx=diff(x)     
其中x是维数组，dx为维数组,这样基于两点的数值导数可通过指令diff(x)/h实现。对于三点公式，读者可参考例1的M函数文件diff3.m。
例1 用三点公式计算在1.0,1.2,1.4处的导数值，的值由下表给出。
1.0        1.1        1.2      1.3      1.4
0.2500      0.2268    0.2066    0.1890    0.1736
解：建立三点公式的M函数文件diff3.m如下：
function f=diff3(x,y)
n=length(x);h=x(2)-x(1);
f(1)=(-3*y(1)+4*y(2)-y(3))/(2*h);
for j=2:n-1
  f(j)=(y(j+1)-y(j-1))/(2*h);
end
f(n)=(y(n-2)-4*y(n-1)+3*y(n))/(2*h);
在MATLAB指令窗中输入指令：
x=[1.0,1.1,1.2,1.3,1.4];y=[0.2500,0.2268,0.2066,0.1890,0.1736];diff3(x,y)
运行得各点的导数值为：-0.2470，-0.2170，-0.1890，-0.1650，-0.0014。所以在1.0,1.2,1.4处的导数值分别为-0.2470，-0.1890和-0.0014。
对于高阶导数，MATLAB提供了几个指令借助于样条函数进行求导，详细使用步骤如下：
step1：对给定数据点（x,y），利用指令pp=spline(x,y)，获得三次样条函数数据pp，供后面ppval等指令使用。其中，pp是一个分段多项式所对应的行向量，它包含此多项式的阶数、段数、节点的横坐标值和各段多项式的系数。
step2：对于上面所求的数据向量pp，利用指令[breaks,coefs,m,n]=unmkpp(pp)进行处理，生成几个有序的分段多项式pp。
step3：对各个分段多项式pp的系数，利用函数ppval生成其相应导数分段多项式的系数，再利用指令mkpp生成相应的导数分段多项式
step4：将待求点xx代入此导数多项式，即得样条导数值。
上述过程可建立M函数文件ppd.m实现如下：
function dy=ppd(pp)
[breaks,coefs,m]=unmkpp(pp);
for i=1:m
    coefsm(i,:)=polyder(coefs(i,:));
end
dy=mkpp(breaks,coefsm);
于是，如果已知节点处的值x,y，可用下面指令计算xx处的导数dyy：
pp=spline(x,y),dy=ppd(pp);dyy=ppval(dy,xx);
例2 基于正弦函数的数据点，利用三点公式和三次样条插值分别求导，并与解析所求得的导数进行比较。
解:编写M脚本文件bijiao.m如下：
h=0.1*pi;x=0:h:2*pi;y=sin(x);
dy1=diff3(x,y);
pp=spline(x,y);dy=ppd(pp);dy2=ppval(dy,x);
z=cos(x);
error1=norm(dy1-z),error2=norm(dy2-z)
plot(x,dy1,'k:',x,dy2,'r--',x,z,'b')
运行得结果为：error1 =0.0666，error2 =0.0025，生成图形见图10.1。
图10.1 三点公式、三次样条插值与解析求导比较图
显然利用三次样条插值求导所得误差比三点公式求导小很多，同时由图2.15可知利用三次样条插值求导所得曲线与解析求导曲线基本重合，而三点公式在极值点附近和两个端点附近误差较大，其它点吻合的较好。
10.3  应用示例：湖水温度变化问题
问题：湖水在夏天会出现分层现象，其特点是接近湖面的水的温度较高，越往下水的温度越低。这种现象会影响水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类死亡。对某个湖的水温进行观测得数据见表10-2。
表10-2 某湖的水温观测数据
深度（m）
0
2.3
4.9
9.1
13.7
18.3
22.9
27.2
温度（℃）
22.8
22.8
22.8
20.6
13.9
11.7
11.1
11.1
试出湖水温度变化最大的深度。
1．问题的分析
湖水的温度可视为关于深度的函数，于是湖水温度的变化问题便转化为温度函数的导数问题，显然导函数的最大绝对值所对应的深度即为温度变化最大的深度。对于给定的数据，可以利用数值微分计算各深度的温度变化值，从而得到温度变化最大的深度，但考虑到所给的数据较少，由此计算的深度不够精确，所以采用插值的方法计算加密深度数据的导数值，以得到更准确的结果。
2．模型的建立及求解
记湖水的深度为（m），相应的温度为（℃），且有，并假定函数可导。
对给定的数据进行三次样条插值，并对其求导，得到的插值导函数；然后将给定的深度数据加密，搜索加密数据的导数值的绝对值，出其最大值及其相应的深度，相应的MATLAB指令如下：matlab求导
h=[0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.3 22.9 27.2];T=[22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1];
hh=0:0.1:27.2;
pp=spline(h,T);dT=ppd(pp);dTT=ppval(dT,hh);
[dTTmax,i]=max(abs(dTT)),hh(i)
plot(hh,dTT, 'b ',hh(i),dTT(i), 'r. '),grid on
运行得导函数绝对值的最大值点为：=11.4，最大值为1.6139,即湖水在深度为11.4m时温度变化最大，如图10.2所示（黑点为温度变化最大的点）。
图10.2 湖水温度变化曲线图
10.4  数值积分简介
考虑定积分
                                                      （10.6）
如果被积函数是以列表形式给出，则其求解思想同数值微分类似，即用逼近多项式近似地代替被积函数，然后计算积分，得（10.6）式的近似值；如果被积函数的原函数不是初等函数，则将积分区间进行细分，对每个小区间，用一个近似函数代替被积函数，然后积分得（10.6）式的近似值。这两种类型最终都可归结为函数在节点上的函数值的某种线性组合，即下面数值求积公式：
                            或              （10.7）
                                    （10.8）
其中为截断误差。此误差可用代数精度衡量，代数精度越高，误差越小；反之误差越大。
代数精度是用来衡量数值积分公式近似程度的办法，如果是一个次数不超过的代数多项式，（10.7）式等号成立；而当是一个次多项式时，（10.7）式不能精确成立，则称（10.7）式的代数精度为。
选取不同的近似函数，可产生不同的数值求积公式，常见的有：梯形公式、辛普森公式和高斯公式。
10.5  数值积分的MATLAB实现
MATLAB提供了下面几个函数计算积分，其使用格式分别为：
（1）trapz(x)              采用梯形公式计算积分（）,x为
（2）quad('fun',a,b,tol)      采用自适应Simpson法计算积分
（3）quadl('fun',a,b,tol)      采用自适应Gauss-Lobatto法计算积分
其中fun为被积函数；tol是可选项，表示绝对误差，a，b为积分的上、下限。
例1分别利用梯形公式、Simpson公式和Gauss-Lobatto法计算，并与其精确值比较。
解：先对积分作符号运算，然后将其计算结果转换为数值型，再将其与这三种方法求得的数值解比较，其MATLAB指令为：
syms xx
z0=simple(int('sqrt(1+xx^2)',0,1))
z=double(z0);z=vpa(z,8)
x=0:0.01:1;y=sqrt(1+x.^2);
z1=trapz(y)*0.01;z1=vpa(z1,8),err1=z-z1;err1=vpa(err1,8)
z2=quad('sqrt(1+x.^2)',0,1);z2=vpa(z2,8),err2=z-z2;err2=vpa(err2,8)