MATLAB中的微积分运算（数值符号）
如果输⼊⼀个长度为n的⼀维向量，则该函数将会返回长度为n-1的向量，向量的值是原向量相邻元素的差，于是可以计算⼀阶导数的有限差分近似。
(1)符号微分
1.常⽤的微分函数
函数:diff(f) 求表达式f对默认⾃变量的⼀次微分值
diff(f,x) 求表达式f对⾃变量x的⼀次积分值
diff(f,n) 求表达式f对默认⾃变量的n次微分值
diff(f,t,n)求表达式f对⾃变量t的n次微分值
>> x=1:10
x =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> diff(x)
ans =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
例1：求矩阵中各元素的导数
求矩阵[1/(1+a) (b+x)/cos(x)
1/(x*y) exp(x^2)]
对x的微分，可以输⼊以下命令
A = sym('[1/(1+a),(b+x)/cos(x);1,exp(x^2)]');
B = diff(A,'x')
可得到如下结果:
例2：求偏导数
求的偏导数。
syms x y;
f = x*exp(y)/y^2;
fdx = diff(f,x)
fdy = diff(f,y)
可得到如下结果：
例3：求复合函数的导数
求的导数matlab求导
sym('x');
y = 'x*f(x^2)'
y1 = diff(y,'x')
得到结果如下：
例4：求参数⽅程的导数
对参数⽅程求导
syms a b t
f1 = a*cos(t);
f2 = b*sin(t);
A = diff(f2)/diff(f1) %此处代⼊了参数⽅程的求导公式
B = diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/diff(f1)^3 %求⼆阶导数
可得到如下结果：
例5：求隐函数的导数
求的⼀阶导数
syms x y
p = 'x*y(x)-exp(x+y(x))'
%隐函数可进⾏整体表⽰
%注意y（x）这种写法，它代表了y是关于x的函数
p1 = diff(p,x)
可得到如下结果：
2.符号积分
1符号函数的不定积分
函数:int
功能：求取函数的不定积分
语法:
int(f)
int(f,x)
说明：第⼀个是求函数f对默认⾃变量的积分值；第⼆个是求⾃变量f对对⾃变量t的不定积分值。
例：分别求函数f（x）=（3-x2）3、的不定积分。
x = sym('x');
%函数的输⼊
f1 = (3-x^2)^3;
f2 = sqrt(x^3 + x^4);
%对函数进⾏积分
intf1 = int(f1)
intf2 = int(f2)
可得结果如下：
2符号函数的定积分
函数:int
功能：求取函数的定积分
语法:
int(f,a,b)
int(f,x,a,b)
说明：第⼀个是求表达式f对默认⾃变量的定积分值，积分区间为
[a,b]；第⼆个是求表达式f对⾃变量x的定积分值，积分区间为[a，b]。
例：分别求、、、的定积分。
syms x t
%输⼊函数⽅程式
f1 = abs(1-x);
f2 = 1/(1+x^2);
f3 = 4*t*x;
%求取函数积分
intf1 = int(f1,1,2)
intf2 = int(f2,-inf,+inf)
intf3 = int(f3,2,sin(t))
intf4 = int(f4,2,3)
可得到如下结果：
(2)数值微分
在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff。
函数:diff
功能：求取数值微分
语法:
DX = diff(X)
DX = diff(X,n)
DX = diff(X,n,dim)
说明：第⼀个计算向量X的向前差分，即DX(i) = X(i+1)-X(i),i=1,2,...,n-1。第⼆个是计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。第三个计算矩阵A的n阶差分，当dim=1或缺省状态时，按⾏计算差分；dim=2，按列计算差分。
例：设x由[0,2π]间均匀分布的10个点组成，求sinx的1到3阶差分。
x = linspace(0,2*pi,10);
y = sin(x);
Dy = diff(y)
Dy2 = diff(y,2)
Dy3 = diff(y,3)
plot(x,y,'B');hold on
plot(Dy,'Y');plot(Dy2,'G');plot(Dy3,'R');
title('sinx的1到3阶差分')
xlabel('x');ylabel('y')
可得到结果如下
图形如下:
注:⼆维图形常⽤设置选项
例：求函数的数值微分，并画出函数图⽐较
x = 0:0.01:2 %数值微分&积分需要先确定数值的范围，这⼀点与符号微分&积分有所不同。
f = x.^2.*cos(x)./(3*x+2)
Df = diff(f)
plot(x,f,'r')
hold on
y = x(1:200);
plot(y,Df,'b')
legend('函数图','微分图')
可得到如图所⽰图线
数值积分
求解定积分的数值⽅法多种多样，如简单的梯形法、⾟普⽣（Simpson）法、⽜顿-科特斯（Newton-Cotes）法等都是经常采⽤的⽅法。他们的基本思想都是将整个积分区间[a，b]分成n个⼦区间[x i，x i+1],i = 1,2,…,n，其中x1=a，x n+1=b。这样求定积分问题就变成了求和问题。
1、变步长⾟普森法
基于变步长⾟普森法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。
功能：求取基于变步长⾟普森法的数值定积分。
语法：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
说明：fname是被积函数名（需要新建⼀个函数）。a和b分别是定积分的上限和下限。tol⽤来控制积分精度，缺省时取tol = 10-6,。trace控制是否展现积分过程，取⾮0为展现积分过程，取0则不展现，缺省时trace = 0.返回参数I即定积分值，n为被积函数的调⽤次数。
例：⽤变步长⾟普森法计算函数f（x）=e-0.2xsin（x+π/3）在区间[0.3π]的定积分
⾸先建⽴被积函数⽂件fesin.m
function f = fesin(x)
f = exp(-0.2*x).*sin(x+pi/3);
然后调⽤数值积分函数quad来求定积分
[S,n] = quad('f',0,3*pi)
2、⽜顿-科斯特法
在MATLAB中，使⽤Newton-Cotes来求取定积分函数为quadl。
函数：quadl
功能：基于Newton-Cotes法来求数值定积分
语法：[I,n] = quadl('fname',a,b,lol,trace)
说明：参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且⼀般情况下函数调⽤的步数明显⼩于quad函数，从⽽保证以更⾼的效率求出所需的定积分值。
发布评论