matlab⽆穷符号,MATLAB强⼤的符号运算
符号对象(Symbolic Objects 不同于普通的数值计算)是Matlab中的⼀种特殊数据类型，它可以⽤来表⽰符号变量、表达式以及矩阵，利⽤符号对象能够在不考虑符号所对应的具体数值的情况下能够进⾏代数分析和符号计算(symbolic math operations)，例如解代数⽅程、微分⽅程、进⾏矩阵运算等. 符号对象需要通过sym或syms函数来指定，普通的数字转换成符号类型后也可以被作为符号对象来处理. 我们可以⽤⼀个简单的例⼦来表明数值计算和符号计算的区别: 2/5+1/3的结果为07333(double类型数值运算), ⽽
sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3)的结果为11/15, 且这⾥11/15仍然是属于sym类型, 是符号数.
1. 符号对象的定义
符号对象的定义⽤syms x y z；的形式，例如
此外，还可以⽤x=sym('x'); y=sym('y')；的格式定义符号变量，它跟syms x y；具有相同的含义. Matlab也⽀持⼀次性定义⼀个符号表达式，如f=sym('a*x^2+b*x+c')，定义后这个表达式会被认为是⼀个整体，Matlab不会⾃动把其中每个项a,x,b ,c 定义为符号变量. 所以如果想对⼀个符号表达式进⾏计算，则还是要把参与计算的项单独定义好.
2. 符号数
Matlab⽀持将⼀个数字转换成符号对象，转换得到的符号数(Symbolic Numbers)仍然具有数字值的含义，只是之后Matlab不会对它进⾏浮点运算. 符号数的定义也通过sym命令实现. 例如可以让Matlab进⾏分数运算1/2+1/3=5/6,
⽽如果直接在命令窗⼝中输⼊1/2+1/3则会得到0.8333的结果. 符号数的计算⽐浮点计算要花费更多的时间和空间, 但是它是⼀种精确计算, 没有误差.
3. 符号计算
利⽤符号变量可以构建符号表达式、符号函数、符号⽅程和符号矩阵等，然后可以进⾏因式分解、求导、求⽅程、求矩阵函数值的解等操作.
(1)因式分解Factoring
对符号表达式f进⾏因式分解的命令格式为factor(f). 例如将表达式(x^9-1)分解成多个因式的命令为
symsx;factor(x^9-1)
运⾏结果为
matlab求导(2)求导/求微分Differentiation
对符号表达式f(x)求导的命令为diff(f).Matlab可以⾃动识别表达式中的变量, 如果表达式a只包含⼀个变量, 则diff(f)函数是相对这个唯⼀的变量求导, 若a包含多个变量, 则diff(f)是对f中的默认变量求导, 默认变量是f中含有的在字母表中离x最近的变量. 表达式f的默认变量可以⽤函数findsym(f,1)来得出.
如果要对f(x)求n阶导数, 则⽤diff(f,n). 对于含有多个⾃变量的表达式, diff可以实现求偏导, 例如表达式f(s,t)相对s求偏导就⽤diff(f,s), 如果相对s求2阶偏导则是diff(f,s,2).
(3)求积分Integral
求符号表达式f(x)的不定积分⽤int(f).对于含有多个符号变量的表达式f(x,s,t), 如果希望将其相对t求积分, ⽤int(f,t). 求f(x)从0到1的定积分⽤int(f,0,1)或int(f,x,0,1).
(4)求极限Limits
求函数f(x)或f(x,y)在x趋近于0时的极限⽤limit(f,x,0), 求(1+x/n)n在n趋近⽆穷⼤时的极限⽤limit((1+x/n)^n,n,inf), 求a(x)在x趋近0-(左极限)或x趋近0+(右极限)的时候⽤limit(f,x,0,'left')或limit(f,x,0,'right').
(5)符号累加Symbolic Summation
普通的算术累加⽤sum, ⽽符号数或符号表达式的累加⽤symsum. 例如求1+1/22+1/32+...和1+x+x2+...⽤如下代码
syms x k;
s1=symsum(1/k^2,1,inf)s2=symsum(x^k,k,0,inf)
(6) 符号表达式化简Simplification
利⽤MATLAB提供的若⼲表达式变形函数, 我们可以将符号表达式化简或根据需求转换成不同的形式.
collect可以将表达式按照其默认的符号变量的幂次由⾼到低排列, 同⼀幂次的符号变量的系数被合并到⼀起. 如果表达式含有多个变量, 则可以利⽤第⼆个参数指出以哪个变量为准. 例如对于f=x^3*y+x*(y^2+6)+x*y+8*x^2+y^2*x,collect(f)的结果为x^3*y+8*x^2+
(2*y^2+6+y)*x,collect(f,y)的结果为2*y^2*x+(x+x^3)*y+8*x^2+6*x.
expand将表达式展开, 并且会应⽤⼀些基本公式(等式identities). 例如expand((x-1)*(x-2)*(x-3))的结果为x^3-6*x^2+11*x-6;
expand(exp(a+b))的结果为exp(a)*exp(b); expand(cos(x+y))的结果为cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y); expand(cos(3*acos(x)))的结果为4*x^3-3*x.
horner将表达式分解成嵌套形式. 例如horner(x^3-6*x^2+11*x-6)的结果为-6+(11+(-6+x)*x)*x.
factor因式分解, 将表达式分解成⼏个因式的乘积, 如果表达式⽆法分解成积的形式, 则分解结果为原表达式保持不变.
simplify利⽤各种内置的基本公式(algebraic identities)对表达式化简.
simpe通过不同的⽅式对表达式进⾏化简, 试图得到最短的结果(结果表达式含有最少的字符数).
(7) 解代数⽅程
解代数⽅程的a(x)=0的命令是solve(a)，例如
(8)  求符号矩阵的函数值
符号矩阵是指矩阵元素包含符号变量的矩阵，对这种类型的矩阵可以按照正常数值矩阵⼀样的规律进⾏计算，例如
(9)还可以求极值
fminsearch      ⽤单纯型法求解
fminunc          ⽤拟⽜顿法求解
fminbnd          查限定区域内的极值