教育教学论坛
EDUCATION TEACHING FORUM 2020年11月
第45期
Nov. 2020No.45
【教法研究】
刘亚轻1，纵封磊2
(1.北京信息科技大学理学院，北京100192；2.北京市丰台区第二中学，北京100071)
［摘要］奉指函裟是幕底数和赛扌旨数都是自变量的函数，通过对一元界扌旨函数的求导进行教学研究与分析，并推广到多元赛扌旨函数和" 阶幕■指函数求导问题，进一步应用实际问题结合MATLAB 数学软件使学生对所学的知识灵活掌握并学以致用。
［关键词］舉指函数；复合函数；偏导数
［基金项目］2017年度北京信息科技大学高教研究课题"促进学生自主学习餉课程考核方式研究”(2017GJYB03 )
［作者简介］刘亚轻(1981—)，女，河北石家庄人，理学博士，北京信息科技大学理学院副教授(通信作者)，主要从事数学教育、可积系统等
方面的研究。
［中图分类号10172.1 ［文献标识码］A ［文章编号］1674-9324 ( 2020 ) 45-0291-02 ［收稿日期］2020-05-14
無底数和無指数都是自变量的函数，形如丁资严)
是数集)的函数称为無指函数。無指函数形
式上既像無函数，又像指数函数。在高等数学的教学 中，無指函数的求导运算是学生学习的一个难点，对
学生来说非常棘手。笔者结合多年的教学经验对一 元無指函数的求导进行教学研究与分析，将其推广到 多元無指函数和n 阶無指函数求导，并应用例子结合
MATLAB 数学软件使学生能够灵活掌握并学以致用。
一、幕指函数的求导法则
(-)复合指数函数求导法
将無指函数化成指数函数的形式，然后利用符合
函数求导法则。计算过程：
y = (/(x)«(I )y =(eg® 町(町
=/a 严［g©)in/a )+巩?；?)］。
/(X )
(二)
对数隐函数求导法将無指函数两边取对数，然后利用隐函数求导法 则。计算过程：lny = ln/(x)g3=g(x)ln/a )
两边同时关于乂求导，可得
hg ‘a )iva )+呼严
y
f(x)
从而有” = 并)g'(x)ln/(x) +或雾単.
L
f(x )」
(三)公式求导法
定理 1 幕指函数 y = f(X )gM (/(x) > 0,/(x)丰 1) 的导数等于幕函数与指数函数的导数之和，即
=(/⑴如)'=g(x)/(x)gW -7Xx) + /(^w ln/(x)
g'(x)。
证明：由导数的定义有型=lim /a+Ax 严+几心3
dx Ax
_ lim /(卄&)心一/(卄心严AxfO Ax + lim /(x + Ax)^-/(x)^；A+Bo
Ar
B 即为把無指函数看作無函数时求得的导数，经
matlab求导过计算有” lim 型匚也吃，駆是把确
&to
A x
函数看作指数函数时求得的导数。得证。
计算过程：
(1) 将無指函数用严)看作是幕函数与指数 函数声的复合，这里u=flx) ,v=g(x)，有
(心町=(何)'+門‘。
(2) 将“和”看作常数，依据复合函数求导法分
别对幕函数和指数函数关于X 求导，有
(/(X )v j = vfixy-1- f'(x),(“能))'=“能)ln “ • g'(x)
即(/⑴如)'=vf^r 1 • f\x) + ln “ • g'(x),
(3) 将“和v 回代，有
(/(x)gw y = g(x)/(x)yW -1/，(x) + /(x)sW ln/(x)g'(x)。
推论1：设多元幕指函数
y = /(X ］, “2,…x ” 严)(/鼬,X?,…x ”) > 0,
且对 = …")可导，贝!］ 字=g(“2,…x ”)/d2,…*®小
0(x ”y%)+ /(x ”x2，...%)gg ，T )
ox t
町亿吩円)恕耸'7).
ox.
(四)偏导数求导法
将幕指函数T (兀严)看作由y=u v ,u=^(x),v=g(x)复 合而成，利用二元复合函数求导的链式法则
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