2011考研数学中的4大物理应用--功、引力、压力、质心
智轩考研数学培训中心
物理应用=几何应用+物理定理，几何应用包括：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积和函数的平均值；物理应用包括：功、引力、压力和质心。一压力或浮力问题
【物理定理】在水深为h 处的压强p h r =，r 为液体的比重，如果有一个面积为S 的平板水平地放置
在深h 处，则该平板的一侧受液体的压力为P pS hS r ==，一般地，果有一个面积为S 的平板垂直地放置某液体中，则该平板的一侧受液体的压力为()b
a
P x f x dx r =
××ò
。
对于数学一的考生还会以浮力形式考察三重积分， F dV t
r =òòò
液体或气体浮力 【题型题法】
【例1】一底为8Cm ，高为6Cm 的等腰三角形片，沿直地沉没在水中，顶在上，底在下，且与水面平行，
而顶离水面3Cm ，试求它每面所受的压力。
〖解〗以水面为原点，向右为x 正方向，向下为y 正方向。
画三角型图：顶点为()0, 3A ，底左端点为()4, 9B -，底右端点为()4, 9C 。
AC 直线方程为：()62
3343
y x x y -=
Þ=-。则所求压力为：()()()934
42331683
3dP ydS y xdy y y dy P y y dy g r r r ==×=-Þ=-=ò。
【例2】边长为(),,a b a b >的矩形薄板，与液面成a 角，斜沉入液体内，长边平行于液面而位于深h 处，液体密度为g ，求薄板每面收到的压力。〖解〗()()()0
sin sin 2sin 2
b
dP g h adx P g h adx abg h b g
g a g a a =+Þ=
×+×=
+ò
。【例3】一横放着的圆柱形水桶，内盛半桶水，设水桶的半径为R ，水的相对密度为g ，求桶的一个端面所受压力。
〖解〗2dP g =，30
2
23
R
P x R g g g =
=ò
.
或由物理知识可求
23
142233
R P R R
g p g p =××=
二、引力（万有引力或电场力）问题【物理定理】两个质点的万有引力12
2
m m F G
r =，一般要求是一个质点和一个一维或二维连续体的万有引力计算；两个点电荷的电场力1212
22
014q q q q F k r r pe ==
，一般要求是一个点电荷和一个一维或二维连续带电体的电场力计算。【题型题法】
【例4】例如在x 轴上有一根长为l ，均匀质量密度为l 的木棒，中心放在原点，在y 轴上()0, a 处有一
个单位质点，计算万有引力。〖解〗()
232
22
2
0;  l
l x y dx
F F G
a
x
l -==
+ò
【例5】在x 轴上有一根长为l ，均匀电荷密度为l 的木棒，中心放在原点，在y 轴上()0, a 处有一个单
位电荷，计算电场力。〖解〗()
232
20
2
2
10;  4l l x y dx
F F a
x
l pe -==
×+ò
【例6】求火箭脱离地球引力范围所需初速度（地球半径6370R km =）.
〖解〗设M 为地球质量，m 为火箭质量，微功2mM dW k dr r =，在地面上2mM k mg R =，所以2R g
k M
=，
于是2
2mgR dW dr r =，2
2
R mgR W dr mgR r +¥==ò.
令2
012
mv mgR ³，则011.2(/)v km s ³。【例7】一长为l ，质量为M 的均匀直棒在它的一端垂线上距棒a 点处有一质量为m 的质点，求棒对质点的引力。
〖解〗22()
M
km l dF dx a x ×
=+，F 的方向为{,}x a -
切线，方向余弦为
223/2
223/200cos cos ,cos ); ()()x y l l x y dF dF dF dF kmMx kmMa F dx a F dx l a x l a x a b a b
=
=
==-==-==++òò,,x y x y F F i F j F F =+如上。
【例8】火星直径为6860km ，其表面重力加速度2
3.92/g m s =，若在火星上发射一枚火箭，初速度为多少能摆脱火星引力的束缚？
〖解〗设火箭质量为m ，火星质量为M ，火星半径为R ，由万有引力定律，引力2
()kMm
f R x =+，当0
x =时，f mg =，故
222,()R f R gm k dW fdx dx M R x ===+；2
2
2011()()h R gm W dx R gm R x R R h
==-++ò令h ®+¥，得W Rgm =。来自动能2012mv
，令2001,  5.186(/)2
mv Rgm v km s ³³=.三、
做功问题
【物理定理】数学23考生一般要求求一维问题的功b
a
W Fdx =ò；
考研压力大怎么办
数学1考生还要求.b
a
W F dl =òu r r （属于第二类曲线积分）形式的功。
【题型题法】
【例9】一密度为3
(1/)g cm g g >，半径为R 的球沉入水中，球的上顶与水面相切，现将球从水中取出需做多少功？
〖解〗只将微元取到水面，所做的微功为2
1(1)dW g y xdx g p =-22(1)[()]g R x R xdx g p =---，再将球取出水面，微元所做的功为
2222(2)(2)[()]dW g y R x dx g R x R x R xdx
g p g p =-=---所以总功
12
W W W =+22210
22220
(1)[()](2)[()]R
R
W g R x R xdx
W g R x R x R dx
g p g p =---=---òò计算可得414(1)3W g R g p =-×；424
3W R g p g
=×总功
4124
(21)
3
W W W R g p g =+=-【例10】半径为10cm 的铁球，浸没于水深1.1m 的池底，欲将其捞出水底，问需做多少功？铁的密度为
317800/kg m r =，水的密度为321000/kg m r =.
〖解〗水下：2
2
2
11212(0.1)()(1)(0.01)()(1)dW y dy g y g y y dy p r r p r r =-×--=---水上：2
2
2
211(0.1)(0.1)(0.01)(0.1)dW y dy g y g y y dy p r p r =-×××+=-××+总微功
12
2121212210.1212210.1
(0.01)[()(1)(0.1)](0.01)(0.1)(0.01)(0.1)dW dW dW g y y y dy g y y dy W g y y dy
p r r r p r r r r p r r r r -=+=-×--++=--++=--++ò
代入1r ，2r 和g 的值，311()
W J =
【例11】一密度为32.5/g cm ，底半径为R ，高为H 的圆柱体沉入水中，上底与水面平齐，求把它捞出水面所做的功。
〖解〗设所做功为W ，则功元素
2222(2.51)  2.5()(2.5)dW R xgdx R H x gdx
R H R x gdx
p p p p =-+-=-从而功
2220
(2.5)2H
W R H R x gdx R Hg
p p p =-=ò【例12】设半径为R 的半球形水池充满了水，当抽出的水所做的功为将水全部抽出所做的功的一半时，水面下降的高度是多少？〖解〗22()dW g x R x dx
p =-222
()4
R
W g x R x dx R g p p =-=
ò当水下降高度为h 时
2
2
2
220
()(2)4
h
h h W g x R x dx R h g
p p =-=-ò
令22221(2)424h R h g R g p p -=×
，得h =.
四、
质心（形心）问题
质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合，且计算方法完全相同。只要会计算形心，质心计算方法便同晓。【物理定理】
平面曲线的质心
平面平板的质心
()()()(), , ;  , , y S
x S
S
S
x y xdxdy
x y ydxdy
M M x y M
M
x y dxdy
x y dxdy
s s s s =
=
=
=òòòòòòòò对于空间图形有类似的质心公式，请参阅多元积分学应用部分，以便比较记忆。
●曲线形心（在多元函数积分应用时，还有平面图形和空间图形的形心问题，请对照。）
对质心只要在每项积分中加入线密度为()x l 即可，当()x l =常数，即几何体均匀时，
质心与形心完全重合，上述公式通用，下同。
上述形心坐标公式与上下曲旋转体的侧面积公式联系起来，便得到一个非常有用的定理：
古尔金第一定理（形心划出的周长´弧长）：2    2x y S Yl S Xl
p p ==●均匀平面薄板
对质心只要在每项积分中加入密度函数即可。
上述形心坐标公式与旋转体的体积公式联系起来，便得到另一个非常有用的定理：
古尔金第二定理（形心划出的周长´面积）：2    2x y V YS V XS
p p ==【题型题法】
【例13】设()f x 在[]0, a 上连续非负，()00f =，在()0, a 内，()0f x ¢¢>，设(), X Y 为区域
()(){}2, | 0,  0D x y R x a y f x =Σ££³的形心，求证：2
3
X a >
。〖解〗()()00
a
a xf x dx X f x dx
=òò，要证23
X a >，等价于要证明：()0203a
x a f x dx æö->ç÷èø
ò
（注意：区域的形心公式相当于平面薄板与曲线的形心公式的不同）
构造辅助函数：()()()()()00022        033x
x x F x t x f t dt t f t dt x f t dt x a æö
=-=-££ç÷èø
òòò()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(
)
()()()()()()000
0,  00
00,    0.
120033111111
333333    0,  0
00x
f f x x F F F a F x xf x f t dt F F x xf x f x xf x xf x f x f xf x f x f f x f x f x x
F x F x F x F x x x x h x x x x =¢¢
><¢==>¢¢=
-Þ=¢¢¢¢¢¢¢¢¢=-=-=-=-éùëû¢¢-=¾¾¾®=<<¢¢¾¾¾¾¾®>¢¢Þ-¾¾¾®>Þò显然只须证明说明：()()()00
2
003
F F x F a X a =-¾¾¾®>Þ>Þ>
【例14】设()f x 在[]0, 1上连续非负，()()()0000f f f ++¢¢¢===，()0f x ¢¢¢>，设(), X Y 为区域
()(){}2, | ,  0,  1D x y R y f x x y =Î===的形心，求证：3
4
X >
。〖证明〗()()0
a a
xf x dx X f x dx
=òò，要证34X >，等价于要证明：()[]
1
30,  0, 14x f x dx x æ
ö->Îç÷è
øò构造辅助函数：()()()()00033        44x
x x F x t x f t dt t f t dt x f t dt æö
=
-=-ç÷èøòòò