经济博弈论（2004年秋季学期）期末测验题答案
注意：请将所有题目的答案写在答题册上，写在本试题页上一律无效。
1. (20 points) Lucy offers to play the following game with Charlie: “Let us show pennies to each
other, each choosing either heads or tails. If we both show heads, I pay you $3. If we both
show tails, I pay you $1. If the two don’t match, you pay me $2.” Charlie reasons as follows.
“The probability of both heads is 1/4, in which case I get $3. The probability of both tails is
1/4, in which case I get $1. The probability of no match is 1/2, and in that case I pay $2. So it
is a fair game.” Is he right? If not, (a) why not, and (b) what is Lucy’s expected profit from the
game?（game table, 5 points; solutions, 7 points; (a), 4 points; (b), 4 points）
（20分）露西提出与查理玩下面的游戏：“让我们互相向对方亮出硬币，每个人可以选择正面或者背面。如果双方亮出的都是正面，我给你3美元。如果双方亮出的是背
面，我给你1美元。如果两枚硬币正背面不同，你给我2美元。”查理做了这样的推理：
“两枚硬币都是正面的概率是1/4，如此我得到3美元。都是背面的概率为1/4，如此我
得到1美元。正背面不同的概率为1/2，如此我付出2美元。因此这是一个公平游戏。”
他的想法是否正确？如果不正确，（a）为什么不正确？（b）露西从游戏中得到的期望
利润是多少？（博弈表5分；解7分；（a）问4分；（b）问4分。）
解答：
该博弈为零和博弈。博弈表如下（5分）：
CHARLIE
Head Tail LUCY
Head -3    2
Tail 2 -1
求解博弈。容易看出，该零和博弈没有纯策略纳什均衡。（1分）
只有一个混合策略的纳什均衡为：露西和查理均以3/8的概率出正面，5/8的概率出背面。
（6分）
（a）查理的推理不对。因为双方实际（策略性）选择的、出硬币的正背面的概率不同于完
全随机选择的概率（后者正背面概率各为1/2）。查理错误地将一个混合策略的博弈情境当成
了随机选择的“赌博”情境。（4分）
（b）露西的期望利润为1/8。（4分）（相应的，查理的期望利润为-1/8，不要求）
2. (20 points) You have to decide whether to invest $100 in a friend’s enterprise, where in a year’s
time the money will increase to $130. You have agreed that your friend will then repay you $120,
keeping $10 for himself. But instead he may choose to run away with the whole $130. Any of your
money that you don’t invest in your friend’s venture, you can invest elsewhere safely at the prevailing rate of interest r, and get $100(1+r) next year.
(a) Draw the game tree for this situation and show the rollback equilibrium. (8 points)
Next suppose this game is played repeatedly infinitely often. That is, each year you have the
opportunity to invest another $100 in your friend’s enterprise, and the agreement is to split the resulting $130 in the manner already described. From the second year onward, you get to make your decision of whether to invest with your friend in the light of whether he made the agreed repayment all the preceding years. The rate in interest between any two successive periods is r, the same as the outside rate of interest and the same for you and your friend. (b) For what value of r can there be an equilibrium outcome of the repeated game, in which each
period you invest with your friend and he repays as agreed? (Hint: only check a single deviation of your friend when both of you always agreed previously.)（8 points）
(c) If the rate of interest is 10% per year, can there be an alternative profit-splitting agreement,
which is an equilibrium outcome of the infinitely repeated game, where each period you invest with your friend and he repays as agreed? (4 points)
（20分）你必须决定是否将100美元投资于一个朋友的企业，在那里，这笔钱一年之后就会增值为130美元。你已经同意，你朋友到那时会偿付给你120美元，他自己留下10美元。不过，也有可能的是，
他携全部130美元潜逃。如果你不把钱投到你朋友的企业里，你可以把它以市面上的利率r，投到任何其他安全的地方，来年获得100(1+r)。
（a）画出这一情形下的博弈树，表示出反转均衡（8分）。
现在假定这一博弈是无限期重复进行的。也就是说，每年你都有机会再将100美元投入你朋友的企业，达成的协议还是按照前面描述的方式来分得到的130美元。从第二年往后，你将根据你朋友在过去的所有各年里是否按协议进行了偿付，来决定是否继续投资于他。连续两年之间的利率为r，与外界的利率相同，而且你和你朋友都同样面对这一利率。
（b）对于怎样的r值，能够存在一个重复博弈的均衡结果，使得每一时期你都投资于你的朋友，而且他也如约偿付？（提示：只考虑以往双方都履约情况下你朋友单独一次的偏离。）（8分）
（c）如果利率为每年10％，是否存在其他的利润分配协议，使得存在一个无限期重复博弈的均衡结果，每个时期你都投资于你的朋友，他也如约偿付？（4分）
解答
(a) 如图所示（4分）。反转均衡为你和你朋友各自的策略为：（投资另处elsewhere，潜逃Run away）。均衡结果为你得100(1+r)，你的朋友得0。（4分）
姓名班级学号（经济博弈论04秋）
(b) 在过去都履约的情况下，你朋友单独一次偏离——潜逃，会带给他一个时期的额外
．．的
130-10=120美元的收益，而额外
．．的损失则为从这以后第二个时期开始的每一时期10-0=10美元（此后你永远不投资于你的朋友），
这一额外损失的现值为10/(1+r)2+10/(1+r)3+……=10/r 美元。如果该偏离的额外收益小于额外损失，你朋友就不会选择偏离，因此双方履约就是一个均衡结果。这要求：
120<10/r，或者r<1/12≈8.3%.
当r<1/12或8.3%时，存在一个合作的无限期重复博弈的均衡。（8分）
(c) 假设你给你的朋友每一时期b美元，根据与(b)类似的推理，这一数额在满足下列条件时可以促成一个合作的均衡：
(130-b)<b/r, 或(130-b)<b/0.1, 或b>130/11≈11.8.
即你需要分给朋友至少每期130/11或11.8美元的利润，才能维持合作。（4分）
3. (20 points) Suppose a class of 100 students is comparing the choice between two careers – lawyers or engineers. An engineer gets a take-home pay of $100,000 per year, irrespective of the numbers who choose this career. Lawyers make work for one another; so, as the total number of lawyers increases, the income of each lawyer increases – up to a point. Ultimately, the competition between them drives down the income of each. Specifically, if there are N lawyers, each will get 100N-N2 thousand dollars a year. The annual cost of running a legal practice (office space, secretary,
paralegals, access to online reference services, and so forth) is $800,000. So each lawyer takes home 100N-N2-800 thousand dollars a year when there are N of them.
(a) Draw a graph showing the take-home income of each lawyer on the vertical axis and the
number of lawyers on the horizontal axis. (2 points)
(b) When career choices are made in an uncoordinated way, what are the possible equilibrium
outcomes? (9 points)
(c) Now suppose the whole class decides how many should become lawyers, aiming to maximize
the total take-home income of the whole class. What will be the number of lawyers? (9 points) （20分）假定一个班有100个学生，他们正在比较两种职业选择——律师或工程师。一个工程师一年能够拿回家的收入为100,000美元，无论有多少人选择这一职业。律师可以相互之间创造工作机会；因此，当律师总人数上升时，每个律师的收入也上升——直到某一点。最终，他们之间的竞争使得每个人的收入都下降。特别地，如果总共有N个律师，每人能够得到的年收入为100N-N2千．美元。开办律师业务的年成本（办公场所、秘书、助手、网上参考服务等）为800,000美元。因此每个律师拿回家的收入为每年100N-N2-800千．美元（当总共有N个律师时）。
（a）画一个图。用纵轴表示每个律师拿回家的收入，横轴表示律师人数。（2分）
（b）当职业的选择以一种未经协调的方式来进行，可能的均衡结果有哪些？（9分）
（c）假定整个班一起来决定多少人应该去当律师，以最大化整个班总的拿回家的收入。将会有多少个律师？（9分）
解答：
(a) 见下图（2分）。
(b) 如图。有两个稳定均衡结果：N*=0, N*=90. 有一个不稳定的均衡结果: N*=10. （每个均衡3分）
姓名班级学号（经济博弈论04秋）
(d) 全班总收入表示为（3分）：
T(N) = Np(N)+(100-N)s(N)
= N(100N-N2-800)+(100-N)100
= 10,000-900N+100N2-N3.
该总收入最大化的一阶条件为（3分）：
T’(N) = -900+200N-3N2=0 ⇒ N≈62, or N≈5.
可以验证，当N=62 时总收入最大（另一个解N=5得到总收入的一个局部极小值）：
T(62) ≈100,272 千美元
即最大化本班收入的律师人数为62人。（3分）
4、（20分）电影《天下无贼》讲述的是一个相信“天下无贼”的农村青年，在一对“神偷夫妻”（这对夫妻因为受他的恩惠决定保护他而不是偷窃他）的帮助下，与另一伙小偷周旋，最终将自己辛苦打工的几万元钱安全带回家的故事。
考虑一个小偷（Thief）与你（You）的博弈。假设你的手上有价值为V的物品（或金钱）。小偷有两种选择，“偷”与“不偷”。你也有两种选择，“防”与“不防”。小偷和你都无法事先观察到对方的选择。如果你选择“防”而小偷选择“偷”，小偷完全不能获得该价值的物品。如果你选择“不防”而小偷选择“偷”，则小偷会完全获得该价值的物品。再假设无论小偷是否选择“偷”，你选择“防”都要付出一个（额外的）成本c1；而无论你是否选择“防”，小偷选择“偷”也都要付出一个成本c2。假设c1<V, c2<V。
（a）画出这个同时博弈的收益表。是否存在一个小偷选择“不偷”（“天下无贼”）的纯策略纳什均衡？求出博弈的纯策略和（或）混合策略的纳什均衡。纳什
均衡是否实现了社会总福利最大（即小偷与你的收益之和最大）？（6分）（b）讨论当博弈中的每个参数（V, c1, c2）变化对双方的均衡策略的影响？特别地，当物品价值（V）增加时，小偷是否倾向于选择“偷”？为什么？（2分）再来考虑一个进化博弈（Evolutionary Game）。假定在“人类”这一种（population）中有三种表现型（phenotypes）：智者（W），傻瓜（F）与小偷（T）。智者与傻瓜都从事劳动并相互进行互惠贸易。他们劳动的收益均为h，成本均为c。互惠贸易使得各自收益增加t，因此，总的来说，如果智者之间、傻瓜之间或者智者与傻瓜之间相遇，他们各自得到h+t-c 的收益。小偷不从事任何劳动，仅以偷窃为生。如果小偷遇到智者，二者经过一番较量，小
姓名班级学号（经济博弈论04秋）
偷一无所获，却要付出成本d；智者进行斗争也要付出成本e，但可以确保劳动收益不受损
失。总的来说，小偷得到-d，智者得到h-c-e。如果小偷遇到傻瓜，他在付出成本d 之后可
以得到傻瓜的全部劳动收益；傻瓜不进行任何斗争，但劳而无获。总的来说，小偷得到h-d，
傻瓜得到-c。如果两个小偷相互遇见，则相互较劲，但最后都空手而归，各自得到-d。
（c）画出博弈表（3分）。
（d）说明一个全是智者（All-W）的种可以被傻瓜成功侵入（invade successfully），一个全是傻瓜（All-F）的种也可以被智者成功侵入。（2分）
（e）说明如果满足条件：
h > c – d - t > 0
小偷不能成功侵入一个全是智者的种，但可以成功入侵一个全是傻瓜的种。（2分）
（f）写出按照第一标准（primary criterion），智者可以成功侵入一个全是小偷（All-T）的种，而傻瓜则不能成功侵入一个全是小偷的种的条件。（2分）（g）在满足第(e)和(f)问给出的条件下，到
所有
．．的“天下无贼”（即不包含“小偷”
T的表现型）的演化稳定均衡（ESS）。（3分）
解答：
（a）博弈表如下（3分）
你
防不防
小偷
偷 -c2, -c1 V-c2, -V p
-c1 0,
不偷 0,
0 1-p
q 1-q
容易看出该博弈没有纯策略纳什均衡。只有一个混合策略纳什均衡：小偷以概率p=c1/V选
择偷，1-p=1-c1/V的概率选择不偷；你以概率q=1-c2/V选择防，1-q=c2/V的概率选择不防。
（2分）
小偷的期望收益为0；你的期望收益为-c1。而社会福利最大出现在小偷不偷，你不防的情况
下，为零。因此该均衡没有实现社会福利最大。（1分）
（b）V增加，q增加，p减少。即：当物品价值增加时，你选择防的概率增加，而小偷选择
偷的概率减少。而小偷并不倾向于偷的原因正好是你倾向于防。当“防”的成本（c1）增加，
小偷倾向于偷；而“偷”的成本（c2）增加时，你倾向于不防。（2分）
（c）博弈表如下（3分）
淄
COLUMN
T W F
T -d, -d -d, h-c-e h-d, -c ROW
W h-c-e, -d h+t-c, h+t-c h+t-c, h+t-c
F -c, h-d h+t-c, h+t-c h+t-c, h+t-c
（d）根据第一标准（primary criterion），当一个傻瓜侵入一个全是智者的种时，它遇到智
者得到h+t-c；而一个智者遇到智者时也得到同样的收益。因此第一标准不能排除傻瓜的侵
入。考虑第二标准（secondary criterion），当傻瓜遇到傻瓜时，得到h+t-c；智者遇到傻瓜时，
收益相同。第二标准也不能排除傻瓜侵入。因此傻瓜可以成功侵入一个全是智者的种。类
似的，一个智者也可以成功侵入一个全是傻瓜的种。（2分）
（e）当小偷侵入一个全是智者的种时，遇到智者它得到-d，而智者遇到智者则得到h+t-c。
如果h+t-c>-d，或者h>c-t-d时，根据第一标准，小偷无法成功侵入。当小偷侵入一个全是
傻瓜的种时，遇到傻瓜它得到h-d，而傻瓜遇到傻瓜得到h+t-c。如果h-d>h+t-c，或者c-t-d>0，