数学是什么
☐ 《现代汉语词典》（商务印书馆 第5版）是这样对数学下定义的：数学史研究现实世界的空间形式和数量关系的学科。包括算术、代数、几何、三角、微积分等。
☐ 《全日制九年义务教育数学课程标准》中叙述：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程；数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了与语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
☐ 美国数学家柯朗《数学是什么》说：“数学，作为人类智慧的一种形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望。它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。
☐ 法国数学家博雷尔说：“数学是我们确切知道我们在说什么并且肯定我们说的是否对的惟一的一门科学。
☐ 柏拉图的数学观。古希腊唯心主义哲学的代表人物柏拉图认为：存在着两个世界，一个是人们可以看到的、听到的、摸到的物质世界，一个是用理智才能把握的理念的世界。物质世界是相对的、变化的，而“理念”世界则是绝对的、永恒的。关于数学理念的实质，他以圆为例进行分析，认为“有四种圆” :被人认为圆的某种东西;圆的定义;画出的一个圆;实质性的圆,即圆的理念,它与其他圆的存在密切相关.他认为画出来的具体的圆难免掺杂其他东西,甚至包括与圆的本质相抵触的成分.因此,前三种都不是完善的圆,具体的圆介于不完善的圆和唯一的圆的理念之间一。他指出,数学家提出的概念不是一种创造,而是对客观存在的描述,并认为每门学科只有当其运用数学时才能成为科学.集合论的创始人康托尔也认为数学是独立于人类思维活动客观存在的东西.
☐ 欧几里得《几何原本》的数学观。一是几何理论联系是封闭的演绎体系。二是《几何原本》是抽象化的内容，涉及的都是一般的抽象的概念和命题，操作的内容是概念和命题之间的逻辑关系。三是《几何原本》的方法是公理化方法，基本结构由少数不定义的概念和少量不证自明的命题按一定的逻辑法则定义出该体系中的其他概念，推演出其他所有命题。《几何原本》的数学观就是使数学理论成为一个严谨的系统性理论。
☐ 《九章算术》的数学观。一是数学体系是开放的归纳体系。二是算法化的内容。三是模型化的方法。四是利用算筹作计算工具。
☐ 笛卡儿的数学观。其基本观点：世界一切现象都可以用数学来描述。他曾设计了解决各类问题的所谓万能方法的模型，即把任何问题转化为数学问题，然后把数学问题转化为代数问题，再把代数问题归结到解方程组，其基本思想就是数与形的结合。
☐ 牛顿的数学观。牛顿的研究方法体现那一时期的数学观。他创造性地把试验与数学相结合、数学与逻辑相结合、归纳与演绎相结合、分析与综合相结合，形成了数学的一个完整的方法论体系，并赋予这个体系以建立数学化力学的公理系统的纲领。
☐ 18世纪的数学观。数学是达到物理目的的一种方法，数学成为科学研究的工具。如拉普拉斯认为数学是物理的一种工具，他关心的是数学对天文的价值。数学家达朗贝尔则明确把数学化硅在自然科学之内这种科学的分法。
☐ 数学基础学派的数学观。1902年罗素提出了集合论的悖论——罗素悖论，它的出现，使数学家卷入了关于数学的本质是什么的激烈的斗争之中，从而使20世纪形成了数学史上的三
个学派，即逻辑主义、直觉主义、形式主义，各派都力图从自己的观点出发建造数学基础。（1）逻辑主义学派。代表人物罗素和费雷格，其基本观点是，数学是逻辑的一个分支。罗素说：“数学是由命题P推出命题Q这种演绎的总合，数学的内容只有形式。（2）直觉主义学派。代表人物德国数学家克罗内克，他认为数学是建立在可信和构造性上的科学。他有一句名言，”上帝创造自然数，别的都是人造的“，其实质就是自然数是真实存在的，其余的都是人为造出来的一些符号。（3）形式主义学派。他认为数学本身就是一堆形式系统，各自建立自己的逻辑，同时，建立自己的数学。认为一种公理系统只要是相容的、不相互矛盾的，该公理系统就得承认代表一种真理，而悖论就是公理系统不相容的一种表现。
☐ 布尔巴基学派的数学观。其观点是：数学是以数学的结构为对象的科学。认为全部数学或大部分数学都可以依照结构的不同加以分类，用公理化方法抽象出各个学科的各种结构，出各数学分支之间的结构差异。数学的发展是各种结构的建成和发展。其观点称为“新数学”观点。
方延明搜集数学的15种定义：
☐ 哲学说，数学是一种哲学。亚里士多德曾说：“新的思想家把数学和哲学看作是相同的。
☐ 符号说，数学是一种高级语言，是符号的世界。
☐ 科学说，数学是精密的科学，数学是科学的皇后。
☐ 逻辑说，数学推理依靠逻辑，数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲。
☐ 工具说，数学是其他所有知识工具的源泉。
☐ 创新说，数学是一种创新。如发现无理数，提出微积分，创立非欧几何。
☐ 直觉说，数学的基础是人的直觉。数学主要是由那些直觉能力强的人们推进的。
☐ 集合说，数学的各个分支的内容都可以用集合论的语言来表述。
☐ 结构说（关系说），强调数学语言、符号的结构方面及联系方面，数学是一种关系学。
☐ 活动说，数学是人类最重要的活动之一。
☐ 模型说，数学就是研究各种形式的模型，如微积分时物体运动的模型。
☐ 精神说，数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性的精神。
☐ 审美说，数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学的原则。
☐ 艺术说，数学是一门艺术。
☐ 万物皆数说，数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数和整数比。
数学的本质
☐ 数学的本质指它区别于其他社会学科、自然学科的固有特征。其实质是若公理为真，则可以保证由它演绎出的结论为真。
☐ 数学是一个多元的复合体。数学的活动包括建立数学模型、研究数学模型、运用数学模型。数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程；数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了与语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
小结
什么是自然数☐ 简而言之，数学是数与形的科学，由于数学的研究对象的数量关系与空间形式来自于现实世界，因而教学尽管在形式上具有高度抽象性，而实质上总是扎根于现实世界，生活实践与技术需要是数学的真正源泉，数学对改造世界的实践又起着重要、关键的作用。