第19卷第4期湖南文理学院学报（自然科学版）Vol.19No.4 2007年12月J ournal of Hunan University of Arts and Science(Natural Science Edition)Dec.2007文章编号：1672-6146(2007)04-0064-03
罗佑新，何哲明，车晓毅，汪超
(湖南文理学院机械工程系，湖南常德415000)
摘要：对刚体导引四杆机构综合问题中产生的非线性方程的求解问题进行了研究.在概述区间数的标准表示方法及其运算规则的基础上，介绍了标准区间函数的应用.根据对求解区间的标准区间数表示的性质(如果在区间上有解，则0F
∈(X))进行判定是否有解，剔除无解区间，细化有解区间，从而求解非线性方程的全部解.标准区间数不仅具有区间分析的功能，而且能解决区间分析所不能解决的问题.最后基于标准区间数的性质提出了求解非线性方程组的一种新求解方法.给出了机构综合实例.
关键词：区间数的标准表示；刚体导引；区间分析；平面机构
中图分类号：TH112文献标识码：A 平面连杆机构的综合问题主要包括刚体导引、函数发生以及连杆轨迹
再现等.人们对于它的研究的目的在于得到满足设计要求的有效设计方法.随着计算机技术的发展，机构综合的解析法日益完善，并得到了广泛的应用.所谓解析法就是将机构综合问题转化为非线性的符号或数值方程，进行分析与求解.
数值方法最后往往归结为非线性方程的求解.为了得到满足设计要求的最优解，就必须设法确定非线性方程的全部解.目前，在机构学常用的有连续同伦方法和同伦迭代法，这两种方法都是基于同伦的理论，首先构造同伦函数，依次跟踪同伦各条道路，最后得到方程的全部解.只不过，两种方法的同伦跟踪路径不同.基于同伦理论的方法不需要初绐值就可以得到包括非实根在内的方程的所有解，但必须跟踪所有同伦路径，而许多同伦路径得到了相同的解，而且跟踪任何同伦路径都需要较长的时间，这就使得该方法存在着时间效率较低的问题.牛顿迭代法也是机构学常用的方法之一，该方法有较好的收敛速度，但该方法要求有较好的初始点，且得到的是局部收敛，不易求出全部解区间分析或称区间数学最早是对估计误差研究而提出来的，自66年第一本区间数学的专著出版以来，它的发展很快，但区间数在运算时，同一个自变量的运算次不同，可能得到不同的扩展区间，一些文献对些做了研究，但什么样的运算次序最佳，至今是没有的问题.而且三角函数没有像有理数那样具有包含单调性的自然扩展，在机构学中运用区间分析时，张纪元等研究了三角函数的单调性的扩展问题，研究了区间分析法.但计算量大.灰系统理论自1982年由我国控制论专家提出之后，其理论和应用都得到了很大的发展.灰系统理论的数学基础研究是随着灰系统理论的发展而产生的一门崭新的数学研究领域.王清印等专家教授创造性地提出了灰集合
[1]的概念，在此基础上，提出了区间灰数的数学运算的法则.但灰数运算时，与区间数学一样，许多代数性质不能展开，因而限制了它的发展.为此，王清印教授又提出了泛灰集合[2]的概念及泛灰代数基础、泛灰数学分析基础.利用泛灰数的运算功能，扩展区间数的运算能力，王清印教授又提出了区间数的标准表示方法及其运算法则[3].本文在概述区间数的标准表示方法以及其运算规则的基础上，介绍了标准区间数的应用.标准区间数具有区间分析的功能，还可以解决区间数学或区间灰数所不能解决的问题.将标准区间数应用于机构综合中，它不需要初始值，区间细分，剔除无解区间，可十分有效地求出机构学问题的所有实数解，它为机构学问题综合提供了一种全新的方法.并以平面刚体导杆机构综合为例，进行了求解.
1区间数的标准表示及其运算法则
1.1区间数的标准表示
定义[,]
a b I
∈(区间数集)，,a b∈R(R为实数)，令max{,}
x a b
=，1
≤，则定义[,][,1],[1,1]
a b x
=∈，且称[,1]
x为[,]
a b的标准式.
性质[,]I
∈，,∈R都有标准式与之对应表示，即[,][,]
x
=
当区间数用标准表示后，称之为标准区间数
.
19
a b a b
1
a b.
.
第4期罗佑新，何哲明，车晓毅，等标准区间数在平面刚体导引连杆机构综合中的应用65
标准区间数的性质的证明见文献[3]，且泛灰数与标准区间数的区别在于1=[3].因此，可以用泛灰数的四则运算法则导出标准区间数的四则运算法则.
1.2标准区间数的运算法则
1.2.1加法运算
设11[,][,1],a b x =22[,][,1],c d x =则[,]a b +
1122
1212`[,]()[,1]x x c d x x x x +=++.标准区间数的加法
运算与区间数的加法运算一致.
1.2.2减法运算
设11[,][,1],a b x =22
[,][,1],c d x =则[,]
a b 1
1
221
21
2
`
[,]()[
,1]x x c d x x x x =.标准区间数的减法
运算与区间数的减法运算不一致.容易验证标准区间数加减法互为逆运算.
1.2.3乘法运算设11[,][,1],a b x =22[,][
,1],c d x =则[,]
a b 1212[,]([,1][,1
])c d x x =.当1
2
,[0,1]∈，定义
1212
[,1][,1][,1]=，否则定义12[,1][,1]=
12
[min{,},1].
可以验证标准区间法乘法运算与区间数乘法等
价.
1.2.4除法运算设11[,][,1],a b x =22[,][,1],c d x =则[,]/
a b 1212
[,]/([,1]/[,1])c d x x =.当
1
2
,
[0,1]∈，定义
12
1
2
[,1]/[,1][
/
,1]=，否则定义12
[,1]/[
,1]=
12
[min{,
},1].
chexiao容易验证标准区间数乘法、除法互为逆运算.根据上述定义，可以证明标准区间数加法具有封闭性，满足结合律和交换律，标准区间数乘法运算满足封闭性、结合律与交换律等；标准区间数的乘法对加法满足分配律(证明略).
2区间标准算法的应用
在机构设计中常会遇到含有cos(x)、sin(x )方程组.三角函数在区间数学中没有像有理函数那样具有单调性的自然扩展，为此运用区间数学或灰数进行机构问题分析时必须采用定义域法或泰勒级数法进行处理[4].
标准区间数是实数的推广，标准区间函数也是一般实函数的推广设y =f(x)为一般实函数，x 取为实数，y 也取为实数值，对x 进行标准区间推广，记为(x)，(x )=x[,])则f(x)的标准区间推广为f(g x )，且规定：
f(g x )=f(x)[f(x)/f(x ),1]).
实基本初等函数通过标准区间拓广后称为标准区间基本初等函数.标准区间基本初等函数保留了基本初等函数相应的性质.而区间数学没有这些性质.标准区间数具有区间分析功能，而且标准区间数具有一定的优越性.
例1[3]：证明f(x )=x(x-7)-6-1/(x (x -4)-30)在区间[8,10]有实根，并估计在[8,10]上的最大值和最小值.
解：F[8,10]＝[8,10]([8,10]-7)-6-1／([8,10]
([8,10]－4)－30)＝[1.5,23.9667],0∈F[8,10]
这就证明了在[8,10]区间上f(x )有实根，并且最大值不大于21.9667，最小值不小于1.5.
但一个有理函数由于运算次不同，可以有不同的区间扩展函数，如将上例中的写成f (x)=x 2-7x -6-1/(x 2-4x-30)，此时按改变后的式子再计算F[8,10]，其结果就不一样.如果改成其它形式，再计算结果又不同，甚至无法计算.
标准区间数可以克服以上缺点.[8,10]＝10[0.8,1],a =a [1,1]从而有：F[8,10]＝[1.5,23.9667]
如果将f(x)改写成，f (x)=(x 4-11x 3-10x 2＋242x ＋239)/(x 2-4x-30)，则仍有：F[8,10]＝[1.5,21.9667]由以上可知，标准区间数具有区间分析的功能，而且可以解决区间分析所不能解决的问题与泛灰运算具有一致性.
定理1设F(X )为f(x)在[a ,b]上的区间扩展后，要f(x)=0在[a,b]上有实根，则必须有0∈F(X).如果0F(X )，则在区间[[a ,b]上f(x)=0无实根.
由于区间扩展与因变量的运算次序与有关，因此求解时都把区间拓展为标准区间数，用上面介绍的标准区间函数求解.
3标准区间数在刚体导引平面四杆机
构综合中的应用
刚体导引四杆机构的综合问题，就是要设计一个四杆机构能够引导连杆，按规定的顺序精确地通过若干给定的位置.可以用转动的概念进行分析，建立方程，并用计算机代数系统进行符号推导，最后得到关于圆心坐标的方程[5]，即：
4
32
010203040
()()o A A A A a x a x a x a x a Y x x x ++++==+++利用前面所述的定理，结合标准区间函数的有
.g g 1.
2
000102001/A A A A b b b c c
66湖南文理学院学报（自然科学版）2007年
关运算，很快地确定有解区间和无解区间，剔除无解区间，再细分解区间，把余下的区间再分解为有解区间与无解区间，这样逐步地细分出所有的解.用标准区间函数求机构综合问题的matlab语言程序取名INSE.
算例给定刚体五个位置：M1(-9.4584, 315.9139),θ1=68.3589,M2(111.2200,348.6962),θ2=67.3479,M3(211.5072,279.6813),θ3=50.3924, M14(212.4600,207.8764),θ4=27.1796,M5(87.2804, 245.4322),θ5=34.5365，则方程(4)关于x A0的非线性方程为：
6.6183x4A0+1.3323*103x3A0–2.7239*105x2A0–
2.9105*107x A0-6.4918*108=0
根据阿贝尔定理，方程(4)的任一实根都在区间(-1-A/|a o|,1+A/|a o|),d而A=max{|a1|,|a2|,|a3|,|a o|}= 6.4918*108，所有实根都在区间(-98088634.03, 98088634.03)，考虑到运动学的有效性，可以缩小搜索区间为[-1500,800].输入搜索区间及方程(4)，利用matlab语言编制的程序INSE，得到四个有效解为-294.2348，-49.9831，-37.0549，179.9760.与[5]的结果相同，但计算量减小.
4结论
本文介绍了区间数的标准表示及其运算法则以及函数标准区间扩展，利用标准区间数的可扩展性对区间进行分析，它不仅具有区间分析的功能，而且能解决区间分析所不能解决的问题.根据对求解区间的标准区间数性质(如果在区间上有解，则0∈F(X))进行判定是否有解，剔除无解区间，细化有解区间，从而求解非线性方程的全部实数解.应用用标准区间函数求解方程的全部实根，它不需要初始值，计算量非常小，它为机构学问题综合提供了一种全新的方法.该方法编程简单、分析直观、结果可靠，在机构综合问题及其它非线性方程的求解等许多领域有着广阔的应用前景.
参考文献：
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学报,1992(4):151-156.
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与泛灰数的内在联系[J].数学的实践与认识,2005,35(6): 216-222.
[4]张纪元，沈守范.确定机构动学解的区间分析法[J].北
京：机械工程学报,1991,27(4):75-79.
[5]谢进，陈永.混沌理论与平面连杆机构综合[J].机械科
学与技术,2000,19(4):524-526.
Application of Standard Intervals Number to Synthesis of Plane Rigid Guidance LUO You-xin,HE Zhe-ming,CHE Xiao-yi,WANG Chao (Department of Mechanical Engineering,Hunan University of Arts&Science,Changde,Hunan,415000)
Abstract:This paper focuses on the method of solving the non-linear equation arising form the synthesis of plane rigid guidance.Based on the standard expression of interval number and the rules of four algebraic operation of standard interval number，the application of standard interval function is introduced.According to the characteristic of standard expression of interval function，namely,if there has solution in the standard intervals,it must be0∈F(X)，confirming whether it has solution and removing non-solution interval and decomposing interval that has some solutions,finally finding all solu
tions of non-linear equation.The standard interval function can deal with some problems that interval number or interval analysis can’t.Based on the characteristic of standard interval function，a new method has been proposed.At last an example is given.
Key words:Standard Expression of Interval Number;Rigid guidance;Interval Analysis;Plane Mechanism
收稿日期：2007-10-15
基金项目：湖南省”十一五”重点建设学科(机械设计及理论)(湘教通[2006]180)；湖南省自然科学基金(07JJ3093)；湖南省教育厅重点项目(04A036)；湖南科技厅计划项目(2007FJ3030、2007GK3058)
作者简介：罗佑新(1966-)，男，高级工程师，教授，研究方向：现代机构学及CAD、优化设计、不确定性系统理论、混沌理论与应用等.
(责任编校：刘刚毅)
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