2023年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷
数学试题（二）
命题学校：华师一附中
试卷满分：150分 考试用时：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z 满足i z z −=在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ）
A ．22(1)4x y −+=
B ．22(1)2x y −+=
C ．22(1)4x y +−=
D ．22
(1)2x y +−= 2．设集合{}
{}2
9,20A
x x
B
x x a =≤=−≤，且{}31A B x x =−≤≤ ，则a =（ ）
A ．2−
B ．1
C ．2
D ．3
3．如图，在ABC △中，点D 在BC 的延长线上，3BD DC =，如果AD xAB yAC =
+
，那么（ ）
A ．13,22x
y == B ．13,22x y =−=
C ．13,22x y =−=−
D ．13
,22
x y ==− 4．若5
(1)kx +的展开式中2x 的系数为40，则k =（ ） A ．2 B ．4 C ．2± D ．4±
5．已知直线:30l x y +−=上的两点,A B ，且1AB =，点P 为圆22
:230D x y x ++−=
上任一点，则PAB △的面积的最大值为（ ）
A 1+
B ．2+
C 1−
D ．2−
6．已知等差数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且对任意77,n n S S ≠<，则（ ） A ．130S < B ．140S > C ．150S < D ．160S >
7．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，离心率为e ．倾斜角为120°的直线与C 交于,A B 两
点，并且满足
21
AB AF BF e
=−，则C 的离心率为（ ）
A ．
1
2
B
8．设19
39
1020,919a
b =
，则下列关系正确的是（ ） A ．2e a b << B ．2e b a << C ．2e a b << D ．2e b a <<
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户的数量（单位：次）： 63 38 25 42 56 48 53 39 28 47 45 52 59 48 41 62 48 50 52 27 则这组数据的（ ）
A ．众数是48
B ．中位数是48
C ．极差是37
D ．5%分位数是25 10．已知高和底面边长均为2的正四棱锥P ABCD −，则（ ）
A ．PA =
B ．PA 与底面ABCD
C ．二面角P AB C −−的平面角的正切值为2
D ．四棱锥P ABCD −的体积为83
11．已知曲线()sin 2y
x ϕ+关于y 轴对称，()sin 22y x ϕ+关于原点对称，设函数
()()()sin 2sin 22f x x x ϕϕ=+++，则（ ）
A ．()24
k k π
ϕπ=+∈Z B ．()388f k f k k ππππ
+=+∈
Z
C ．函数()f x 的最小正周期是π
D ．函数()f x 的值域是
12．已知抛物线()2
00:2(0),,C
y px p M x y =>为C 上位于焦点,02p F
右侧的一个动点，O 为坐标原点，则（ ）
A ．若()02,0,1,0p y A =>−，则()0,1AM k ∈
B ．若02,02p N x
+
满足6MNF π∠=
，则sin MFN ∠
C ．若MF 交C 于点B ，则2,2OMB p S
∈+∞
△
D ．直线l 交C 于A B 、两点，且0MA MB k k +=，则1AB k =−
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某高中学校选拔出四名学生参加知识竞赛，四名学生按顺序作答，要求甲不在第一个出场，乙不在最后一个出场，则不同排法的总数是_________．
14．已知在ABC △中，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若223sin cos sin ,1C A B a c =−=，则b =_________．
15．已知三棱锥A BCD −中，,AB CD AC BD a AD BC b ======，若,,,A B C D 均在半径为2的球面上，则a b +的最大值为_________．
16．已知函数()(1)2(0x
x
f x a a a =++−>且1)a ≠，若函数()f x 恰有一个零点，则实数a 的取值范围为
_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列{}n a 满足211222,1,3n
n n n a a a a a ++−==．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求1
11222(1)n n n n n a a +++ +− −⋅
的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）
ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且()()sin cos cos sin A B C B A C −=−．
（1）判断ABC △的形状；
（2）若ABC △为锐角三角形，且1sin a B =，求22
2
()
湖北有多少个市b a ab +的最大值． 19．（本小题满分12分）
已知P 是平行六面体1111ABCD A B C D −中线段1CD 上一点，且12D P PC =．
（1）证明：1AC ∥平面BDP ；
（2）已知四边形ABCD 是菱形，12,120AB AA BAD =∠=°，并且1A AC ∠为锐角，
111
cos cos 4
A AD A A
B ∠=∠=，求二面角P BD
C −−的正切值．
20．（本小题满分12分）
杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐． 传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为,,,A B C D ，其中A 对阵其他三个队伍获胜概率
均为p ，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为1
2
．最初分组时AB 同组，CD 同组． （1）若2
3
p =
，在淘汰赛赛制下，A C 、获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下A 获得冠军的概率（用p 表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 21．（本小题满分12分）
已知过右焦点()3,0F 的直线交双曲线22
22:1(,0)x y C a b a b
−=>于,M N 两点，曲线C 的左右顶点分别为
12,A A
（1）求曲线C 的方程；
（2）如图，点M 关于原点O 的对称点为点P ，直线1A P 与直线2A N 交于点S ，直线OS 与直线MN 交于点T ，求T 的轨迹方程． 22．（本小题满分12分） 已知函数()2cos f x x x =−． （1）求()f x 的零点个数； （2）当0,
2x π
∈
时，()e x bf x ≥恒成立，求b 的取值范围． 2023年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷
数学试题（二）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12 答案 D C
B
C
A
C
A
D
AB
ACD CD
ABC
1．【答案】D
【解析】由z 在复平面内对应的点为(),x y 可得i,i 2,z x y z =+−==
又，即
22(1)2x y +−=
，
故选D ． 2．【答案】C
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