【考点分析】
1.考试要求
理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的倾斜角和斜率.
2.考情分析
直线的倾斜角与斜率为每年必考点，以选择题、填空题形式为主，分值约为分，主要考查斜率的计算及根据直线的斜率求对应的倾斜角.
3.知识清单
（1）直线倾斜角的定义：当直线与轴相交时，直线向上的方向与轴正方向所形成的最小正角，叫做直线的倾斜角；当直线与轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为；平面上任意一条直线都有唯一确定的倾斜角，且它的取值范围是 ；
（2）直线斜率的定义：直线的倾斜角时，倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即 .当时，直线的斜率不存在；
（3）斜率计算的三个公式：
1若直线的倾斜角为，则斜率（）;
2若直线过两点 ，则斜率;
3若直线的一般式方程为 ，则斜率.
【精确诊断】
1.直线 的倾斜角是 .
【答案】.提示：由方程可得直线的斜率为，又，得.
2.（2014年第12题）已知两点，，则直线的斜率（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.提示：由得，选B.
3. （2017年第5题）直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【精准突破】
题型１ 求直线斜率
例1 倾斜角为 的直线斜率为 .
【思路点拨】直接利用公式即可求得.
【问题解答】由，可得
【变式1】直线过点和点,求直线的斜率.
【答案】 提示:由于直线过点、点, 则
【变式2】若直线方程为，则直线的斜率是多少？
【答案】.
题型2 由斜率求倾斜角
例2 已知直线的斜率为，则它的倾斜角为 .
【思路点拨】利用公式，并且注意倾斜角的范围，两者结合直接得出结论.
【问题解答】由，得，由于 ，故 .
【变式1】已知直线的斜率 ，则它的倾斜角一定是 .
【答案】锐角 提示：由，而，故一定是锐角 .
【变式2】设点，，则直线的倾斜角为 .
【答案】.提示：由，再由,可得 .
题型3 直线的倾斜角与斜率综合应用
例3 已知三点、、在同一直线上，则 的值为
【思路点拨】三点共线则斜率相等，即 .
【问题解答】因为三点共线，所以，即，.
【变式1】已知直线，绕原点顺时针旋转 ，求旋转后直线的斜率.
【答案】 .提示：直线的斜率则，绕原点顺时针旋转 后，直线的倾斜角设为 ，斜率设为，则，.
【变式2】已知过点和点，的倾斜角是的倾斜角的2倍，求的斜率.
【答案】 提示：设直线的倾斜角是，则直线 的倾斜角是，再设直线的斜率是，直线的斜率是，则又则，
故.
【变式3】经过 , 两点的直线的倾斜角为锐角，求的取值范围.
【答案】 提示：.
即 ，解得，所以的取值范围是.
【反思提升】
1.思想方法
（1）要充分运用求解斜率的三个公式，根据不同的条件选择适合的公式计算斜率
（2）求直线的倾斜角，通常先求直线的斜率，然后由斜率即倾斜角的正切值求得.
2.误区指津
（1）平面直角坐标系中的所有直线都有倾斜角，但不是所有直线的斜率都存在，要除去和 轴垂直的直线.
（2）的符号是判断倾斜角的范围的一个重要指标,需正确把握斜率与倾斜角的关系.
考点69 直线的倾斜角与斜率
【精细训练】
A 基础训练
一、选择题
1. （2015年第12题）直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
2.直线经过点 和，则下列说法正确的是（ ）
A.斜率为 B.倾斜角为 C.斜率不存在 D.倾斜角不存在
【答案】 C.
3.直线倾斜角为 ，则斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4.若直线的倾斜角的余弦值为 ，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
5.已知直线不经过第二象限，则该直线的倾斜角范围是（ ）
A. B. C. D.无法确定
【答案】 A
二、填空题
6.已知直线的斜率为 ，则它的倾斜角为 .
【答案】
7.已知直线过原点及 ，则该直线斜率为 .
【答案】
8.直线的倾斜角为，则直线的斜率是 .
【答案】 不存在
单考单招三、解答题
9. 在倾斜角的直线上有两点， ，求的值.
【答案】.
10.已知三点、、在同一直线上，求的值.
【答案】 提示：因为三点、、在同一直线上，
所以 ,即 ,解得.
B 提升训练
1.已知直线过原点及点 ，为第二象限角，直线的斜率为 ，则（ ）
A. B. C. D.不存在
【答案】 B.
2. 已知直线，
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）求直线倾斜角的取值范围.
【答案】（1）.（2）.
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