自然数平方之间的一些规律
自然数平方之间的一些规律
内容摘要：
1、两个相邻自然数，它们平方数之间有一定的差值，这个差值正好是这两个相邻自然数之和。
2、我们可以把任意一个被平方数的十位上看作a，个位看作b，那么它的平方分解的代数式为：
（10a＋b）2＝10a×（10a＋2b）＋b2
关键词:自然数 平方 规律
数学与我们的日常生活息息相关。我对数字（特别是自然数）有着特殊的爱好。我经常留意数字世界，发现它们原来有些有趣的内在规律，下面我就自然数平方之间的一些规律为大家作如下陈述：
一、相邻自然数平方之间的关系
两个相邻自然数，它们平方数之间有一定的差值，这个差值正好是这两个相邻自然数之和。
1、两个相邻自然数，它们平方数之间有一定的差值，这个差值正好是这两个相邻自然数之和。
2、我们可以把任意一个被平方数的十位上看作a，个位看作b，那么它的平方分解的代数式为：
（10a＋b）2＝10a×（10a＋2b）＋b2
关键词:自然数 平方 规律
数学与我们的日常生活息息相关。我对数字（特别是自然数）有着特殊的爱好。我经常留意数字世界，发现它们原来有些有趣的内在规律，下面我就自然数平方之间的一些规律为大家作如下陈述：
一、相邻自然数平方之间的关系
两个相邻自然数，它们平方数之间有一定的差值，这个差值正好是这两个相邻自然数之和。
如：两个相邻自然数3和4，它们的平方数：32＝9、42＝16，16与9的差是7，7正好是3与4之和。用代数式表示如下：
a2－b2＝a＋b（a、b为相邻自然数，a-b=1）
知道了这个规律，我们就可以利用它快速计算出和整十整百数相邻自然数的平方了。
如：要计算99的平方。想一想：99与100相邻。所以只需用100的平方10000减去99与100之和199，即可得出99的平方了。列式如下：
992＝1002－（100＋99）＝10000－199＝9801；
如果要计算101的平方，想想，101的平方比100的平方大，所以只需用100的平方10000加上100与101之和201，即得出了101的平方了。列式如下：
1012＝1002＋（100＋101）＝10000＋201＝10201。
二、两位自然数平方之间的规律
在我们已经熟记了自然数10以内甚至20以内自然数的平方后，我们试图把我们对平方的认识再向上拓展拓展。今天我就两位自然数平方之间的规律作如下列举说明：
1、十几的平方
a2－b2＝a＋b（a、b为相邻自然数，a-b=1）
知道了这个规律，我们就可以利用它快速计算出和整十整百数相邻自然数的平方了。
如：要计算99的平方。想一想：99与100相邻。所以只需用100的平方10000减去99与100之和199，即可得出99的平方了。列式如下：
992＝1002－（100＋99）＝10000－199＝9801；
如果要计算101的平方，想想，101的平方比100的平方大，所以只需用100的平方10000加上100与101之和201，即得出了101的平方了。列式如下：
1012＝1002＋（100＋101）＝10000＋201＝10201。
二、两位自然数平方之间的规律
在我们已经熟记了自然数10以内甚至20以内自然数的平方后，我们试图把我们对平方的认识再向上拓展拓展。今天我就两位自然数平方之间的规律作如下列举说明：
1、十几的平方
112＝10×12＋12
122＝10×14＋22
132＝10×16＋32
142＝10×18＋42
152＝10×20＋52
162＝10×22＋62
172＝10×24＋72
182＝10×26＋82
192＝10×28＋92
分析上式，你会发现两个乘数中都有一个10，另一个乘数都逐渐增加了2，分别为12、14、16、18、20、22、24、26、28，并且第二个乘数是第一个乘数10与被平方数个位数的2倍之和，加数正好是这个被平方数个位数的平方。比如：
122＝10×14＋22
132＝10×16＋32
142＝10×18＋42
152＝10×20＋52
162＝10×22＋62
172＝10×24＋72
182＝10×26＋82
192＝10×28＋92
分析上式，你会发现两个乘数中都有一个10，另一个乘数都逐渐增加了2，分别为12、14、16、18、20、22、24、26、28，并且第二个乘数是第一个乘数10与被平方数个位数的2倍之和，加数正好是这个被平方数个位数的平方。比如：
17的平方就等于10×24＋72
=240+49=289，其中的第二个乘数24是怎样得出的呢？是用10（17的十位数是1）与7（17的个位数是7）的2倍相加得出的，列式：24=10＋7×2
2、二十几的平方
212＝20×22＋12
222＝20×24＋22
232＝20×26＋32
242＝20×28＋42
252＝20×30＋52
262＝20×32＋62
272＝20×34＋72
282＝20×36＋82
=240+49=289，其中的第二个乘数24是怎样得出的呢？是用10（17的十位数是1）与7（17的个位数是7）的2倍相加得出的，列式：24=10＋7×2
2、二十几的平方
212＝20×22＋12
222＝20×24＋22
232＝20×26＋32
242＝20×28＋42
252＝20×30＋52
262＝20×32＋62
272＝20×34＋72
282＝20×36＋82
292＝20×38＋92
再分析二十几的平方分解式，你会发现两个乘数中都有一个20，另一个乘数分别和被平方数的十位数和个位数有关，并且第二个乘数是第一个乘数20与个位数2倍之和，加数正好是这个自然数个位数的平方。比如：
28的平方就等于20×36＋82
=720+64=784，其中的第二个乘数36是20（28的十位上的数是2）与8（28的个位数是8）的2倍之和，列式：36=20＋8×2
3、三十几的平方
312＝30×32＋12
322＝30×34＋22
332＝30×36＋32
342＝30×38＋42
352＝30×40＋52
再分析二十几的平方分解式，你会发现两个乘数中都有一个20，另一个乘数分别和被平方数的十位数和个位数有关，并且第二个乘数是第一个乘数20与个位数2倍之和，加数正好是这个自然数个位数的平方。比如：
28的平方就等于20×36＋82
=720+64=784，其中的第二个乘数36是20（28的十位上的数是2）与8（28的个位数是8）的2倍之和，列式：36=20＋8×2
3、三十几的平方
312＝30×32＋12
322＝30×34＋22
332＝30×36＋32
342＝30×38＋42
352＝30×40＋52
362＝30×42＋62
372＝30×44＋72
382＝30×46＋82
392＝30×48＋92
分析三十几的平方分解式，第一个乘数显然是30，加数也是和个位数相同数的平方，不同之处就在于第二个乘数为何分别是32、34、36、38、40、42、44、46、48，不知你弄明白没有？
…………
通过以上列举，可以看出其中的规律来了吗？我们可以把任意一个被平方数的十位上看作a，个位看作b，那么它的平方分解的代数式为：
（10a＋b）2＝10a×（10a＋2b）＋b2
你还能够类推出100以内的其它两位数平方之间的规律来吗？为了方便理解记忆，下面我先用图表分别展示如下：
372＝30×44＋72
382＝30×46＋82
392＝30×48＋92
分析三十几的平方分解式，第一个乘数显然是30，加数也是和个位数相同数的平方，不同之处就在于第二个乘数为何分别是32、34、36、38、40、42、44、46、48，不知你弄明白没有？
…………
通过以上列举，可以看出其中的规律来了吗？我们可以把任意一个被平方数的十位上看作a，个位看作b，那么它的平方分解的代数式为：
（10a＋b）2＝10a×（10a＋2b）＋b2
你还能够类推出100以内的其它两位数平方之间的规律来吗？为了方便理解记忆，下面我先用图表分别展示如下：
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