自然数的平方和公式的推导方法总结
自然数的平方和就是
，它的结果是
。对于这一结论的推导，方法多种多样，现将我所知道的方法一一总结如下，与大家共享。
自然数方法一：设数列
，其中
，则
的一阶差数列记为
，其中
，首项为
；
的二阶差数列记为
，其中
，首项为
；
的三阶差数列记为
，其中
，首项为
；
于是我们可知数列
为三阶等差数列。于是我们应用下面方法求可求出数列
的通项。
=5+
=5+2+2+……+2=
亦知当
时亦有
，
故有
故有
=4+
=
=
亦知当
时亦有
。
故有
故有
=1+
=
知当
时亦有
故有
=
=
的定义进行了推广，规定
。这样的推广对于组合数的性质并无影响。
即
对于n<m时仍成立。（下文中所用的组合数都是推广后的组合数）于是我们有
；
。
另外，此种证法关键在于发现数列
是一个三阶等差数列，从而应用组合数性质导出其通项。如果我们将这一问题稍做推广，就会得到k阶等差数列
通项公式的一般形式，即
。其中
表示数列
的
阶差数列的首项。
如果进一步推广，就会发现，数列
为k阶等差数列的一个充要条件是数列
的通项是一个关于n的k次多项式。于是我们应用这一结论，就会得到证法二。
证法二：设数列
，其中
，则由（1）知数列
是一个3阶等差数列，所以设
。
又因
，于是
解得
所以
。
点评：上面应用的方法是待定系数法，其关键在于发现数列
为三阶等差数列。
证法三：
证法三：
。
所以
所以
=
=
。
点评：此种证法是一次公开课中，由李爱廷老师提出的一种证法。此种证法很简洁，关键在
于对
进行了适当的分解，从而应用组合数性质，对公式进行了证明。此种证法还可继续推广，用于证明更多的问题。如
则
=
。
=
；
则
则
=
=
。
上面的证法关键都在于对
进行了适当的拆分，然后对重新进行组合、合并。而这些能力也恰巧是我们代数运算中的基本功。
证法四：因为
所以
=
=1*n+3*(n-1)+5*(n-2)+……+(2k-1)(n-k+1)+……+(2n-1)*1 (1)
其中(2k-1)(n-k+1)=
于是（1）=
所以3（
）=
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