【连续N个自然数的平方的和等于多少】百度作业帮
平方和公式n(n 1)(2n 1)/6
即1^2 2^2 3^2 … n^2=n(n 1)(2n 1)/6 (注：N^2=N的平方)
证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N 1)(2N 1)/6
证法一（归纳猜想法）：
1、N＝1时,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、N＝2时,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、设N＝x时,公式成立,即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x 1)(2x 1)/6
则当N＝x＋1时,
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x 1)(2x 1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1） 1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2 2^2 3^2 … n^2=n(n 1)(2n 1)/6成立,得证.
证法二（利用恒等式(n 1)^3=n^3 3n^2 3n 1）：
(n 1)^3-n^3=3n^2 3n 1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2 3(n-1) 1
.
3^3-2^3=3*(2^2) 3*2 1
自然数2^3-1^3=3*(1^2) 3*1 1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n 1)^3-1=3(1^2 2^2 3^2 . n^2) 3(1 2 3 ... n) n,
由于1 2 3 ... n=(n 1)n/2,
代人上式得：
n^3 3n^2 3n=3(1^2 2^2 3^2 . n^2) 3(n 1)n/2 n
整理后得：
1^2 2^2 3^2 . n^2=n(n 1)(2n 1)/6