研究性学习论文1
无限集合的一一对应
高一15张韧
周老师的论文样板我读不了,所以只能按初中时数学建模的方法(想到哪儿写到哪儿)写这篇论文。我无法通晓前人的研究成果——不到资料,所以只好自己写。不过这样也好,免得别人说我抄袭。或许日后我会发现,我想到的这些方法早就有了。
预备知识:
身为高一学生,什么叫无限集合、什么叫一一对应已不需我多谈。什么叫无限集合的一一对应呢?
建立了集合的概念后,人们就考虑为集合比较大小。“数字”、“多少”本是抽象的概念,但因为我们用得太多了,就不觉得它抽象了。仔细想想,谁见过“3”?我们见到的都是形象的“三条狗”、“三个人”的集合。那我们为什么不称它们为“四条狗”、“四个人”呢?因为“三条狗”、“三个
人”间可以建立一一对应,而“三条狗”和“四个人”间却怎么也建立不起一一对应。
把这种思想应用于无限集,我们就可以建立比较无限集合“大小”的法则:如果两个无限集合间可以建立一一对应,我们就说这两个集合具有相同的的基数;如果无限集A可以一一对应于无限集B的一个子集,我们就说集合A的基数不大于集合B的基数。注意,这里是“不大于”,而不是“小于”,因为有可能A既能对应B的一个子集,又能对应B,这时A和B的基数相同。这当然是可能的,下文我会举例。我们用希伯来字母1读作“阿列夫”)来表示自然数集的基数,用2来表示实数集的基数。
一、自然数集和整数集的一一对应
如果一个无限集合中的元素可以被不重不漏地放在一个数列里,因为数列是“建立在自然数集上的函数”,集合本身和自然数集都不重不漏,又是“函数”,就一定能与自然数集建立一一对应。
上一段话可能有些难以理解,通俗地解释一下:如果一个无限集中的元素可以按照一定规则排起队来:队列的第几个是谁都可以计算出来,所有的元素都排进去又没有重复,那么我们
就让队列的第一个元素和自然数集中的1对应,第二个元素和自然数集中的2对应……就建立起了一个自然数集和这个集合的一一对应。
给整数排队:01-12-23-3…与自然数n对应的整数是
所以,整数集的基数是0。看,自然数集可以和整数的子集(自然数集本身)建立一一对应,又可以和整数集建立一一对应。
二、自然数集和偶数集的一一对应
如果一个无限集合A能与集合B建立一一对应,而B又能与C建立一一对应,那么A就一定能与C建立一一对应。因为A的基数和B的基数相等,B的基数和C的基数相等,A的基数就一定和C的基数相等。
所以,如果整数集可以和偶数集建立一一对应,偶数集就一定可以和自然数集建立一一对应。
z是整数,dz是它对应的偶数。有
一一对应。所以,偶数集的基数为0
三、自然数集(不包括0)和自然数集(包括0的一一对应
如下排列:
01234
可见,自然数集(包括0)的基数也是0
四、自然数集和有理数集的一一对应
无法想象吧,我整整想了20分钟呢!方法如下:
第一步,将所有的有理数列成下表:
0
1/1
-1/1
1/2
-1/2
1/3
-1/3
1/4
-1/4
1/5
-1/5
2/1
-2/1
2/2
-2/2
2/3
-2/3
2/4
-2/4
2/5
-2/5
3/1
-3/1
3/2
-3/2
3/3
-3/3
3/4
-3/4
3/5
-3/5
4/1
-4/1
4/2
-4/2
4/3
-4/3
4/4
-4/4
4/5
-4/5
因为所有的有理数都可以表示成a/b的形式(),所以上表涵盖了所有的有理数。
第二步,把不是既约分数的分数划去。
0
1/1
-1/1
1/2
-1/2
1/3
-1/3
1/4
-1/4
1/5
-1/5
2/1
-2/1
2/2
-2/2
2/3
-2/3
2/4
-2/4
2/5
-2/5
3/1
-3/1
3/2
-3/2
3/3
-3/3
3/4
-3/4
3/5
-3/5
4/1
-4/1
4/2
-4/2
4/3
-4/3
4/4
-4/4
4/5
-4/5
自然数
有了这两步,就保证了上表不重不漏地涵盖了所有的有理数。
第三步,按下图所示的顺序将上表中的数进行排列。
0
1/1
-1/1
1/2
-1/2
1/3
-1/3
1/4
-1/4
1/5
-1/5
2/1
-2/1
2/2
-2/2
2/3
-2/3
2/4
-2/4
2/5
-2/5
3/1
-3/1
3/2
-3/2
3/3
-3/3
3/4
-3/4
3/5
-3/5
4/1
-4/1
4/2
-4/2
4/3
-4/3
4/4
-4/4
4/5
-4/5

跳过被划去的数,将有理数按顺序排列:
01/1-1/12/11/2-2/13/1-1/2-3/14/1…这样,我们就将所有的有理数按顺序不重不漏地排列起来了。
可见,有理数集的基数也是0
五、自然数集和实数集不能建立一一对应
没想到,连有理数集都能和自然数集建立一一对应,那么我们能不能到一种方法,把所有实数按顺序排列起来,使实数集也和自然数集一一对应呢?即证明0=1?
很遗憾,答案是否定的。我们甚至可以证明自然数集不能和(0,1)的实数集建立一一对应。用反证法。我们假定一列数x1,x2,x3,x4…穷尽了(0,1)的实数。我们用aij表示xi第j个小数数位上的数字,显然,0aij9aijN。我们只要构造一个数
y=0. b2b2b3b4…使biaii即可。因为b1a11,所以y的小数点后第一位与x1的小数点后第一位不同,所以yx1,同理可证yx2、yx3…所以y不在此排列之中,而y又确确实实是一个(0,1)的实数,所以假设不成立, 01
六、实数集和01)的实数集的一一对应
我初三的时候听别人讲过这样一种方法,能将(0,1)的实数和R建立一一对应。每一个实数可以对应数轴上的一个点,而(0,1)的实数可以对应长度为1的线段上除0,1外的所有的点。请看下图:
处于上面的线段表示(0,1)的实数,(0,1两点已挖空)下面的直线表示数轴。为显示一般性,我没有在数轴上绘制原点。
方法:在数轴上方绘制一半圆,半圆直径平行于数轴,c为圆心。半圆直径即上方线段,为结构清晰,我将其移开。半圆上的每一点向线段做射影,可得到半圆上的点与线段上的点的一一对应。下面建立半圆上点与直线上点的一一对应。
对于直线上的任意一点a1,连结a1与c与半圆交于b1,b1就是a1的对应点。对于a2,连结a2与c与半圆交于b2,b2就是a2的对应点……可证,这是一一对应。证法与本论文无关,不加细表。
七、实数集和正实数集的一一对应
对于任意实数r,它所对应的正实数是,对于任意正实数p,它所对应的实数是
八、实数集和CR{0}的一一对应
一个包括0的实数集和一个不包括0的实数集能不能建立一一对应呢?请回想“三”,只要让两集合中的非整数集和负整数集都对应,实数集中的自然数集(包括0)和CR{0}中的自然数集(不包括0)一一对应就行了。姑且把这种方法叫“错位”,下一个例子中,我将会用到形状和
面积,面积四周的“边界数字”如果对应不上,就用这种“错位”方法对应上,那时我就不再加说明了。
九、实数集和实数对集的一一对应
实数集就是数轴上点的集合,实数对集就是平面直角坐标系内点的集合,它们俩之间怎么可能一一对应?所有人都告诉我不可能,我冥思苦索了40分钟才有了点眉目。
用“六”的方法,将实数集对应成(0,1)的实数集,将平面直角坐标系对应成一个1×1的正方形。我们将(0,1)的实数都转换成四进制的无限小数,如(0.5)10可以对应成(0.20000…)4,(0.33333…)10可对应为(0.1111…)4
设需要被对应成1×1正方形内点的四进制小数y=0. a1a2a3a4a5…其中0ai3aiN
左图为实数对集所对应的正方形。我们将其划分为四个部分S0、S1、S2、S3,如图所示。再将每个部分再划分为四个部分,如S0划分为S00、S01、S02、S03,再将每个部分划分为四个部分……
如果a1=0,y的对应点就在S0之内;如果a1=1,y的对应点就在S1之内……如果a1=0,a2=0,y的对应点就在S00之内,如果a1=0,a2=1,y的对应点就在S01之内……以此类推。因为我把所有(0,1)的实数都化成了四进制的无限小数,所以按此方法,所有的实数都能对应为一个确定位置的点,反之亦然。
可见,实数对集的基数是1
十、连续统假设
证了这么多,您不难发现:无限集合的基数似乎不是0就是1,那么除了01外,无限集合还有别的基数吗?数学家们猜测没有了——这就是“连续统假设”。1938年和1963年,两位数学家分别证明了连续统假设在ZF公理系统下不可否定又无法证明——似乎这是一个公理。但有的数学家认为这个假设太让人不放心了,正在努力新的公理替代它。
附:
一、二、五、十参考《十万个为什么(新世纪版)——数学卷》
四由高亦斌帮助完善;八由马毅为帮助完善;
六、七方法并不是我自己想的,出处已不详。
9月26日解决全部问题,10月1日完稿。