数学精神与方法
数学精神与方法
第一讲 从数学是什么谈起
数学是什么——历史的理解
■ 数学是人类文化中历史最悠久的知识领域之一，是人类文明的一个重要组成部分。从远古曲指计数到借助高速电子计算机进行大型科学计算，从勾股定理的发现到抽象公理化系统的产生，数学经过了五千余年的发展演变历程。即使作为一门独立而理性的学科，她也有两千五百年的历史了。
■ 与其他学科领域相比，数学的发展具有很强的累积性。
数学正是经过这种发展的长期累积过程才铸就出今天这般宏大的思想理论体系。数学常常被人们比喻成一棵茂密的大树，她包含着并且正在生长出越来越多分枝。按照美国《数学评论》（
Mathematical Reviews）的分类，当前数学学科包含60多个二级学科，400多个三级学科，更细的分科难以统计。可以说，数学历经五千余年的累积演进，已经发展成为适用面最广泛、应用功能最强大的学科；而且，她还是人们最信得过的学科之一，被称作科学的基础。
从公元前6世纪开始，数学在希腊蓬勃兴起并得到空前发展。希腊人主要对几何感兴趣，突出了对“形”的研究；他们当然也没有忽略对“数”的研究，但却将“数”放在了几何的形式下去考察（只有少数例外，如丢番图）。从那时起，一直到17世纪，数学的研究对象是数与形——静止的、常量的数与形；而且，两千两百年间数学的研究对象没有本质的变化。数学于是成为了关于数与形的学问。
亚里士多德（Aristotle , 384—322BCE）
“数学是量的科学。”
笛卡尔（R. Descartes, 1596-1650）
“凡是以研究顺序（order）和度量（measure）为目的的科学都与数学有关。”
由笛卡尔、费马（P. de Fermat, 1601-1665）开创的解析几何学，为数学乃至整个科学树起了一座划时代的里程碑，数学从此由常量时代进入了变量时代——这标志着数学发展迈入了近代数学时期。
微积分的创立无疑是17世纪数学最为重要的成就，也是科学发展史上最重大的事件之一。由牛顿（Isaac Newton, 1642-1727）和莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716）所制定的微积分，本质上就是关于运动与变化的数学，它使科学家们能够以数学为工具去深入研究行星运动、机械运动、流体运动以及动植物生长等等。因此，数学在牛顿和莱布尼兹生活的时代已经成为研究数与形、运动与变化的学问。
数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。
然而，就在恩格斯所在的19世纪，数学家不仅仅研究现实世界中的数学对象，而且开始关注并研究数学自身的大量基础性问题，而这类问题——以数学自身的协调、完备以及模式化为
目的——只是出于使数学自身达到完美与统一的需要。
■ 从19世纪后期开始，数学成为了研究数与形、运动与变化以及数学自身问题的学问，而且数学理论的论述呈现以公理化倾向为特征的规范形式。从此，数学发展进入了所谓现代数学阶段。这种对数学自身问题的研究，实现了数与形的统一，促成了数学与逻辑的融合，开辟了全新而广阔的数学发展空间和应用领域，从根本上刷新了人类的数学观念。
■ 康托尔（G. Cantor 1845---1918）
罗素（B. Russell, 1872---1970）
■ “数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。”
20世纪初，英国哲学家兼数学家罗素（B. Russell, 1872-1970）给数学下了如下一个定义：
■ “纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对同样这些事物也成立。这里既不管第一个命题是否成立，也不管使此命题成立的那些事物究竟是什么，……。只要我们的假定是关于一般事物的，而不是关于某些特殊事物的，那么我们的推理就构成为数学。这样，数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的（事物）是什么，也不知道所说的内容（断语）是否正确。”
数学是什么？
■ 20世纪80年代，一批美国学者将数学简单地定义为关于“模式”的科学：
■ “[数学]这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。”
搜索并揭示隐藏模式的过程是在交织着许多对立面的斗争中进行的，这些对立面是：具体与抽象、特殊与一般、有限与无限、离散与连续、算法的与存在的、随机的与决定论的、精确的与近似的，等等。正是这些对立面的相互作用、反复综合并在更高层面上达成统一，在不停地推动着数学的创造、更新和应用，在生动地体现着数学理论的思想脉搏和蓬勃生机。因
此，这些对立统一因素构成了数学科学发展的基本要素，理应在数学教育中作为通识知识加以系统地阐释。
数学是抽象的，追求精确性和可靠性 随着数学家开发模式的范围自然地、无限制地扩张到任何领域中去，数学的历史边界已完全消失，同样数学应用的边界也没有了：现代数学不再只是自然科学和工程技术领域（如物理学、化学、生物学、生态学、各种工程设计和控制技术等）的语言，它与计算机相结合已经成为众多行业和部门（如银行业、制造业、医药业、统计与审计部门、信息处理与信息安全部门等）以及社会科学领域（如经济学、社会学、历史学、心理学、考古学、语言学等）必不可少的工具。
■ “知道重大发明特别是那些绝非偶然的﹑经过深思熟虑而得到的重大发明的真正起源是很有益的。这不仅在于历史可以给每一位发明者以应有的评价，从而鼓舞其他人去争取同样的荣誉，而且还在于通过一些光辉的范例可以促进发现的艺术，揭示发现的方法。”
希尔伯特（ D. Hilbert , 1862---1943 )
■ “数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系。”
■ “凡服从于科学思维的一切知识，只要准备发展成一门理论，就必然要受公理化方法的支配，受数学的支配。”
数学精神与方法
第二讲 有限无限纵横谈（一）
§2.1 从自然数谈起
• 对于今日受过初等教育的人，数学最明显的出发点就是自然数序列：
0，1，2，3，……
这个我们如此习惯的数学概念，形成却很慢，仅仅在文明的高级阶段，我们才能以其为本，作为我们考察数学的起点。
• 如果问：自然数是什么? 这可就不那么容易回答了。事情说到根上，看起来简单的问题反而难以回答。
皮亚诺的自然数公理系统
• 三个基本概念：
0，数，后继
• 五条公理：
• 0是一个数。
• 任何数的后继是一个数。
• 若两个数不同，则它们的后继也不同。
• 0不是任何数的后继。
• 数学归纳法原理。
数学归纳法原理
• 如果每个数 n 都对应有一个命题 P(n)，又如果
（1）P(0) 真，
自然数是什么
（2）假若 P(n) 真，则必有 P(n+1) 真，
那么对所有的数 n ，P(n) 都真。
• 注：数学归纳法原理是我们从有限通向无限的桥梁。
关于 0、数、后继 皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类，即指包括0在内的自然数全体；他没有假定我们知道这类中的所有分子，仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知道我们所指的是什么。
• 皮亚诺以“后继”来代表从数到数的一种对应，这种对应是一对一的，是一部以数造数的机器——给一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。
• 这个合适的起始数只有一个，那就是“0”。
• “0” 、“数” 、“后继”是不加以定义的原始概念，它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描
皮亚诺的自然数公理系统将经典数学“算术化”做到了最后完善的地步
• 从皮亚诺的公理系统出发，可以建立起完整的算术理论——可以定义数的加法、乘法和大小关系，可以证明已有的所有算术结果。当然，完成这一切还需要加上一些逻辑的概念和命题。
• 算术理论是分析数学的基础，是整个经典数学的基础；这点以后会很清楚。
看明白这一点很重要
• 皮亚诺的三个基本概念是逻辑抽象化的，只有形式，没有内容，可以允许多种解释。例如，如果“0”代表实数1，“数”代表实数列
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