≤数学与哲学≥
一、“万物皆数”观点的破灭与再生——第一次数学危机与实数理论
1、毕达哥拉斯学派：数是万物的本原。数产生万物，数的规律统治万物。
万物皆数，就是万物皆可用自然数或分数表示。
2、毕达哥拉斯（也许是他的门徒）发现，2既不是自然数，也不是分数。
2又是什么?他是不是数？不是数，它为什么能表示确定的集合量？是
数，为什么求不出它的准确值。
3、任何两个分数无论多么近，居然还不能表示出线段上某些点的长度。
数的万能的力量被否定，这便是所谓第一次数学危机。（人们发现了无理
数，又不敢承认它是数）
4、电影实际上是由许多不同的画面构成的，它不是连续变化的，但因为相继
的两个画面相差甚微，我们便以为它是连续的了。
莱布尼茨提出“连续性定律”，认为世界上的连续性是用无穷小量来定义
的一个理想概念。
5、戴德金与康托几乎同时提出了实数理论。
6、辩证法认为一切事物都包含着矛盾，即“一分为二”.也许，这正是因为
事物的变化归根结底可以用数量的变化来描述。而数量变化，分解到每一
维上，无非是增加与减少。表现出来，当然是矛盾的双方，而不是三方或
多方。
二、那种几何才是真的
1、选择一些不加证明而承认下来的命题作为基本命题。把这些基本命题叫做
公理或公设。公理是许多学科都用到的量的关系，如“与同一物相等的一些物，它们彼此相等”，“全量大于部分”，等等。而公设则是专门为了几
何对象而提出的。有五条公理和五条公设。
2、公设：
①从一点到另一点可作一条直线；
②直线可以无限延长；
③已知一点和一距离，可以该点为中心，以该距离为半径作一圆；
④所有的直角彼此相等；
⑤若一直线与其他两直线相交，以致该直线一侧的两内角之和小于两直角，
则那两直线延伸足够长后笔相交与该侧。
三、变量∙无穷小∙量的鬼魂
1、赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二
次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。他用这个生动的比喻说明万物皆在不断变化之中。但严格讲起来，概念上却是不清楚的。
同一条河流是什么意思呢？昨天的黄河和今天的黄河是不是同一条河流
呢？如果是同一条河流，赫拉克利特那句话就错了。如果不是同一条河流，那黄河就成了无穷多条河流了。因为它每个瞬间都和前不同。同样的道理，赫拉克利特也不是一个人，而是无穷多个不同的人了。
有个人写了剧本讽刺他，说是一个人欠债不还，说是我已不是原来借钱的那个人了。债主大怒打了他。到了法庭上，债主不承认打了人，说刚才打
人的我，已不是现在的我了。
2、在数学中，，函数概念是描述运动与变化的重要工具。
3、变化的事物是由无穷多的连续地改变着的状态而组成的。
4、0除以0，在数学上有什么意义呢？
微积分学的创始人牛顿与莱布尼茨。
5、实数理论的建立和微积分基础的巩固，使两次数学危机都得到了圆满的克
服。
四、自然数有多少
1、柏拉图观点：实在无穷（“全体自然数存在”，因为每个自然数都是可以数
到的。既然每个自然都存在，为什么“全体”就不存在了呢？）
亚里斯多德：（我爱我师，但我更爱真理）认为自然数是数不完的，这表
明自然数的产生是个无穷无尽的过程。叫做“潜无穷”
伽利略是第一个对它认真思考的科学家。
2、伽利略提出比较无穷大小的问题。
忽视了要害问题：要比较，就得有个标准：什么叫做大，什么叫做小，什么叫做相等?
3、康托（创立的集合论已被公认是现代数学的基础）
在讨论问题之前先想想有关的关键用语的明确含意——定义
集合：是指把一些个体放在一起考虑时它们形成的整体。
能建立一一对应，就表明两个集合一样多。既如果能够在A与B两个集
合的元素之间建立起一种一一对应的关系，就应当承认A与B的元素一
样多。
又怎么解释完全平方数仅仅是自然数的一部分这个事实呢？难道部分可
以和整体一样多吗？（的确，对有穷集来说，整体不会和部分一样多。但
这是无穷集，它可以和自己的一部分一样多）
4、希尔伯特支持康托，宣称：谁也不能把我们从康托创建的乐园中赶出去。
希尔伯特的“无穷旅店”
假想有这么一家旅馆，它有无穷多个放间，每个自然数都是某个房间的号码。一位旅客来要个房间，但是不巧，所有的房间对都有人，旅馆已经客
满。旅馆主人把房间重新安排一下：1号房的客人到2号，2号房的客人
到3号，3号房的客人到4号 ，所有的客人都安排了新的床位，空出了一号房间给新来的客人。
来了一个“无穷旅游团”，它们的成员号码用完了所有的自然数。怎么办？
旅馆主人又有了新招。他请1号房的客人到2号，2号到4号，3号到6号 ，所有的奇数号码房间都空了出来，正好安排给这个无穷旅游团的
成员们住。
来了无穷多个无穷旅游团，怎么办？
店主人又想出了妙计：原来的客人仍然统统安排到2号、4号、6号、 ，这些偶数号码房间去，剩下的奇数号码房间这样安排：
第1旅游团的成员住在这些房间，号码是;3，9，27， ，3n，
第2旅游团的成员住在这些房间，号码是;5，25，125， ，5n，
然后是7，49，343， ，7n，
11，121，1331， ，11n ，
一般规律是：自小到大把奇素数排成一列
3，5，7，11，13，17，19，23，
设第m 个奇素数是m P ，那么第m 旅游团的第n 号成员的房间号码就是n m P ，
这样，无穷多个旅游团的成员都有了自己的房间。这次还留下了无穷个空
床位，它们的号码是那些不能表为奇素数方幂的正奇数，如：1，15，21，
35，45，63，75， 等等。
五、罗素悖论引起的轩然大波
1、罗素悖论：不以自己为元素的集合.如果它以自己为元素，它就不符合定
义自己的概念
2、数学经历了三次“危机”
第一次危机的结果，是严格的实数理论的建立。数学家回答了“什么是连
续性？”这个古老的哲学问题。
第二次危机的结果是微积分的严密基础的建立。数学家掌握了描述运动与
变化的有效方法。彻底弄清了“芝诺悖论”，回答了“运动是怎么回事？”
这个古老的哲学问题。
第三次危机，涉及“数学自身的基础是什么”？在这次“危机”产生前后，
一些卓越的数学家卷入了关于数学本质问题的激烈争论之中。危机的结
果，产生了“数学基础”这个至今尚在蓬勃发展的数学领域。
六、数是什么
1、
七、是真的，但又不能证明
1、歌德尔定理：在包含了自然数的任一形式系统中，一定有这样的命题，它
是真的，但不能被证明。（表明：即使在数学这样最精确最严格的科学之
中，也存在这样的事物，人对它的认识，永远也不可能达到绝对真理的地
步。绝对真理是无数相对真理的总和，人只能在认识相对真理的过程中逼
近真理。）
2、哥德巴赫猜想：每一个大于2的偶数都可以表为两个素数之和。
3、说谎者悖论：我在说谎。这是不是谎话呢？是谎话，它就是真的；如果是
真的，它就是谎话。
4、恩格斯：人看不见紫外线，但人知道蚂蚁能看得见人看不见的紫外线，这
显示了人的智慧。
八、数学与结构
1、用对数，可以把乘除化为加减，把繁难的乘方和几乎不可能进行的开方化
为乘除。
2、“拿15点”的游戏：桌子上是9张扑克牌，从1点到9点。甲乙二人轮流
来取，哪个人先取到3张牌，使3个点子加起来是15，他便胜了。
比如甲取5，乙取7，甲取6，乙必须取4，否则甲再取得4，便胜了。甲
又取1，下一次准备取得9或8，因为甲手中已有5，6，1，而5+6+9=15，
6+1+8=15。乙既不能阻止甲的两个计划中有一个实现，又无法使手中的7
点、4点凑成15点，只好认输。
“九宫棋”
③⑥
⑧①⑦
⑤④②
甲乙两人轮流向格内下子。一人用黑子，一人用白子。谁能够先把三子
走成一直线，谁就胜了。
规律：棋盘上三子成一线的可能性有8个，即共有8条线。先下的人执黑子，最有利的策略当然是占中，因为中宫在4条线上。而白子只有两种应战之策——边上或角上。边上是两条线的交点，角上是三条线的交点，当然占角有利。事实上，占边必败。(如白占7处，则黑占6，黑再占3，白
n号房时间即无可奈何。因黑两条线都要成了。)白子占角之后（如占2），无论黑方
如何下，白方皆可应对成和棋，如图。
九宫棋和拿15点又有什么关系呢？把九宫格内填上数，凡在一条线上的三个数加起来都等于15，反过来，和为15的三个数一定在一条直线上。
从桌子上拿一张牌，就相当于在九宫格上投一子。拿5点，就是占中，拿
2、4、6、8就是占角。这样对比一下，便可以发现两个形式完全不同的
游戏却有相同的结构。掌握了一种，另一种也掌握了。从九宫棋的规律可以推知拿15点的方法。甲拿5点，乙拿2、4、6、8，即可立于不败之地。
3、即使在数学里，1+1=2也是有条件的，不是绝对的。要看是哪种加法，还
要看1的含意是什么？①在实数系里，有理数系里，整系数里，1+1=2是确定无疑。②电灯的拉线开关，拉一下，灯亮了，又拉一下，灯又灭了，拉两下等于不拉。这叫做1+1=0.③操场上的口令：立正，向左转，向后
转，向左转之间也可以相加。连续执行两个口令就叫做把两个口令加起来。
例如：向右转+向左转=立正，向左转+向后转=向右转，等等。分别用0、
1、2、3代表立正、向右转和向左转，就有了一个加法表（如图）这种加
法，叫做“模4同余类”的加法。
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1
2
3 0
2 2
3 0 1
3 3 0 1 2
④向东走一公里，再向南走一公里，结果离出发点并不是两公里，而是大约
1.414公里。这叫位移的合成，它是一种向量的加法。
4、运算实际上是一种关系。在集合的元素之间建立了具有一定性质的关系，
就叫做集合上有了结构。
5、数学研究的对象是结构——从不同的系统中抽象出来的共同结构。
6、布尔巴基学派认为，数学研究的基本结构有三种，叫做母结构：一种叫
做代数结构——运算——来自数量关系；一种叫做序结构——先后——
来自时间观念；一种叫做拓扑结构——连续性——来自空间经验。
九、命运决定还是意志自由
1、既然人的定命可以改善，那表明定命并非是定而不移的了，也就是无所谓
定命。希望预知命运而问卜者，必然陷入一种矛盾的心态：他们相信命运是注定的，但又希望命运是可改变的。
2、“赌徒输光定理”，即在“公平”的赌博中，任一个拥有有限赌本的赌徒，
只要长期赌下去，必然有一天会输光。
3、数学上稳定性的研究表明：低层次的变化要达到一定的强度，才能引起高
层次的质的改变，这是普遍存在的稳定现象。
4、稳定性可以用来说明必然性。不稳定性可以用以说明偶然性。
5、如果事件与原因以不稳定的方式相联系——原因的无论多么小的扰动也能
引起事件性质的显著不同，就叫做偶然事件。
6、莱布尼茨说，世界有两大谜使理性迷惑：一是自由与必然如何协调的问题，
二是连续性与不可分割性如何统一的问题。
7、偶然可以产生必然，必然也可以表现为偶然。
十、举例子能证明几何定理吗？
1、
十一、数学与哲学随想
1、数学的领域在扩大哲学的地盘在缩小
数学的研究对象是一切抽象结构——所有可能的关系与形式
模糊的哲学与精确的数学，人类的望眼镜与显微镜。
2、抽象与具体
哲学对具体的东西作抽象的研究，数学对抽象的东西作具体的研究
3、先有鸡还是先有蛋？
对这样的问题，数学思维方式是问一问什么是鸡，什么是鸡蛋，它们之间有什么联系。
我们先假定，什么是鸡的问题已经解决。
什么是鸡蛋呢?
根据常识，我们可以提供两个可能的定义：
甲：鸡生的蛋才叫鸡蛋
乙：能孵出鸡的蛋
如果选择定义甲，自然是先有鸡，第一只鸡是从某种蛋里出来的，而这种蛋不是鸡生的，按定义，不叫鸡蛋。
如果选择定义乙，一定是先有鸡蛋，能孵出了第一只鸡的蛋，按定义是鸡蛋，可它并不是鸡生。
这就是数学常用的方法——问一个“是什么？”
4、个别与一般
用数学中集合的概念很容易弄清一般与个别的关系
“一般”是存在的，它作为集合而存在，“个别”也是存在的，它作为集合的元素而存在。
公孙龙“白马非马”的诡论，一方面是弄不清一般与个别的关系，另一方面是利用了语言的歧义。
“是”可以表示“等于”、“属于”或“包含于”，“非”也就可以表示“不等于”、“不属于”或“不包含于”
“马”是一个集合，“白马”是“马”的一个子集合，“白马非马”中的“非”字，如果表示“不等于”，这句话是对的，因为白马集合确实不等于马集合。如果表示“不包含于”，就错了，因为白马集合包含于马集
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