2023北京怀柔初二（上）期末
数
学
一、选择题（本大题共 30 分，每小题 3 分）第 1-10 题均有四个选项，符合题意的选项只有一
．．
个
1. 下列图标是轴对称图形的为（
）
A. B. C. D.
2. 2022 年 11 月 30 日神舟十五号飞船载乘 3 名航天员成功与神舟十四号航天员乘组上演“太空相会”．航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温．气凝胶，是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m ，0.00000002 用科学记数法表示为（）
⨯−9
B. 2⨯108
C. 2⨯10−8
D. 0.2⨯10−8
A. 2 103. 下列计算正确的是（）
( )3
A. a 3÷a 3= a
B. a + a 2= a 3
C.a 3= a 6
D. a 3⋅a 2= a
5
x
x −1
4. 若分式A. x ＞1
有意义，则 x 的取值范围是（B. x ＝1
）C. x ＜1 D. x ≠1
5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
A. x (x + 2) = x 2+ 2x
B.(x −3)2= x 2− 6x + 9⎛⎝ 1 ⎫x ⎭
x 2
+1= x x +
D. x 2− 9 = (x + 3)(x − 3)
C. ⎪6. 八角帽又称“红军帽”，是红军的象征，也是中国工农红军军服佩饰最显眼的部分之一，其帽顶近似正八边形．正八边形的一个内角的大小为（
）
A. 150︒
7. 计算 B.140︒
C.
135︒
D.D.120︒
81− a 2
a −9 a + 3
÷⋅
的结果为（）
a 2+ 6a + 9 2a + 6 a + 9
1
2
−2
A. B. 1 C. −1的延长线于点 E ，若 ∠B = 36︒,∠E = 20︒，
BA
8. 如图，CE 是的外角∠）
ACD 的平分线，且CE 交
则 ∠ BAC 的角度是（
A. 76
︒
B.56︒
C.52︒
90︒
D.
9. 小丽在学习作已知角的平分线的方法，已知：∠ AOB ；求作：∠ AOB 的平分线．她按照教材给出的尺规作图方法进行了如下操作：作法：
（1）以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点 M ，交OB 于点 N ；1
MN 长为半径画弧，两弧在∠ AOB C （2）分别以点 M ，N 为圆心；大于
内部相交于点 ；2
（3）画射线OC ，射线OC 即为所求．
根据小丽的操作过程（如图），下列说法正确的是（
）
是等边三角形
=，可得∠OMC = ∠ONC A. C. OC 垂直平分线段 MN
B. 由于OM ON D. 此过程构造
≌的方法是 SAS
10. 如图，在 Rt △ABC 中∠ACB = 90︒，P ，Q 两点分别在 AC 边上（包括 A ，C ）和过点 A 且垂直 AC 的PQ 交 AB
PQ AB 于点 N ，在运动过程中始终保持
⊥，则此图形在这个过程中能
射线 AM 上运动，连接产生与
全等的三角形个数为（）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
二、填空题（本大题共 12 分，每小题 2 分）
11. 计算：
(−)32a 2b =_______．
3x + 3xy ( )2=12. 填空：，变形 依据是．
6x 2
2x
13. 一个三角形的三边长都是整数，其中两边长分别为 1，2，则这个三角形的第三边长为_____．3 a −b 14. 分式
与的最简公分母是 _________________.2a 2b ab c
2
15. 已知：如图，C 为 BD 上一点， AB AD ．只需添加一个条件则可证明△ABC ≌△ADC ．这个条件可=以是_____．（写出一个即可）．
16. 如图，OC 是
∠AOB 的平分线，动点 ，
分别在射线OA ,OB 上，连接 MN 交OC 于点 ，若M N P OM
31
t − 3
(t > 3),ON (t > 3)21
t (t > 3)的面积比为 ∶ 时，则 的值是
的长度为的长度为当与
t _____．
三、解答题（本大题共 58 分，第 17-24，26 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，27 题 7 分）−2
⎛ 1 ⎫+ −17. 计算：(π − 3)0
+ (−2)3
− | −1|
⎪⎝ 3⎭
y − 4xy 18. 分解因式：4x 22+ y 3 ．− 7a + 5 = 0 ，求代数式(3a
2
− 2a ÷ a − (2a −1)的值．
)2
19. 已知 4
a 2
x 2x 20. 解分式方程：
−=1．x +1 3x +3
21. 己知：如图， ABC ∠= ∠DBE 90=︒，
D 为边 AC 上一点，△ABD 是等边三角形，且AC D
E ．求证：=≌
．
水的体积比用于环境消杀加入水的体积少6L ．求该消毒液用于环境消杀的浓度．（浓度=原液体积/加入水的体积，注意此浓度无单位）
23. 请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题．已知：如图求作：
．
边 AB 上的高CD ．
小怀设计的尺规作图过程如下：作法：
①以点 A 为圆心， AC 长为半径作弧；
②以点 B 为圆心， BC 长为半径作弧，两弧交于点 E ；③连接CE ，交 AB 于点 D ．所以线段CD 就是所求作的高线．
（1）使用直尺和圆规，完成小怀的作图（保留作图痕迹）；AE , BE （2）分别连接，再将该作图证明过程补充完整：由①可得： AC = ____________．∴点 A 在线段CE 的垂直平分线上．（由②可得： BC = ____________．∴点 B 在线段CE 的垂直平分线上．∴ AB 垂直平分线段CE ．）（填推理的依据）
∴ CD ⊥ AB 即 CD 是边 AB 上的高线．
中，∠A = 90︒ ， C 30︒
，DE ∠ =垂直平分 B C ，垂足为 E ，交 AC 于点 ，连接24. 如图，在
D BD ．
（1）求证：
≌
；
（2）若 AD 1，求=AC 的长．
25. 小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于 x 的多项式 x 2+ ax +b 若能分解成两个一次整式相乘的
(x + p )(x + q )x + p = 0或 x + q = 0
x = − p 和x = −q
为多项式
形式，则当时原多项式的值为 0，因此定义− p 和
−q 的平均值为轴值．例：x x 22+ ax +b 的 0 值，x − 2x −3 = (x −3)(x +1), x −3 = 0 或 x +1= 0 时2
− 2x −3 = 0，则 x = 3和 x =− 1为−+ 的 值， 和−1的平均值x 2 2x + 3 的轴值．−x 2 2x 3031为（1） x （2）若 x − bx (b > 0) 0 值为 x , x x 2− 4 的 0 值为____________，轴值为____________；a =ax + 4 的 0 值只有一个，则
2+
____________，此时 值与轴值相等；
02
x 2
x 1 ____________，若
=（3）x ( < )，轴值为 ，则m x 2− 6x + m 的 0 值与
121m =轴值相等，则26. 在平面直角坐标系中，已知点PQ ____________．
M (0,m )P (a ,b )，直线 l 是过点 M 且垂直于 y 轴的直线，点关于直线 l 的P 'P '轴对称点 Q ，连 接，
过 作垂直于 轴的直线与射线Q y PM 交于点 ，则 称为 点的 中心对称点．P M m =1， P 2,3()时____________， P '
点坐标为 点坐标为____________；
（1）如图 1，当
Q
'
−，
初二数学期末试卷∠
QP 'M =
45︒m =，则 ____________
（2）若 P 点的 M 中心对称点为____________；
P ( 1, 3)， 点的坐标为P （3）在（1）中，在内部（不含边界）存在点 N ，使点 N 到
PQ 和 P '
Q
的距离相等，则 点横坐N 标 n 的取值范围是___________．
27. 康康同学在研究等边三角形，如图 1，已知
是等边三角形，D 为 BC 边 中点，E 为中线 AD 上
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