高考冲刺 提分必备
2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析
【真题感悟】
1. 【2010江苏，23】已知△ABC 的三边长都是有理数． （1）求证cosA 是有理数；
（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数．
2. 【2013江苏，23】设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，
1
1(1),,(1)k k k k k ----644474448
L 个
，…，即当1122
k k k k n (-)(+)<≤
(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }． (1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数． 3. 【2014江苏，23】已知函数0sin ()(0)x
f x x x
=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）求122()()2
22
f f ππ
π
+
的值；
（2）证明：对任意*n N ∈，等式1()()4
442
n n nf f ππ
π-+
=
都成立. 4．【2015江苏，23】（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{
})(,,3,2,1*
N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=
}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.
（1）写出(6)f 的值；
（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.
【考纲要求】
1. 数学归纳法的原理 （考查要求为了解）
2. 数学归纳法的简单应用 （考查要求为理解）
【考向分析】
1. 江苏高考中，经常考有难度的数学归纳法，利用归纳和类比的方法进行推理是新课标倡导的精神，主要考查学生探索创新能力.
2. 数学归纳法既是方法，又是思想，更是能力.不仅需要归纳能力，更需要探究能力、创新能力、构造能力.做一些有难度的数学归纳法试题，有助于培养思维品质，提高分析问题及解决问题的能力.
【高考预测】
近几年没有考查数学归纳法，高考对数学归纳法考查定位在能力，属难题.
【迎考策略】
1. 明确数学归纳法的两步证明
数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n ＝k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”． 2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题
(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值0n 的值．
(2)由n k =到1n k =+时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n k =时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．[来 3. 数学归纳法证明不等式的注意问题
(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n k =成立，推证1n k =+时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．
4. “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题
、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．
5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确：
(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推
的依据，二者缺一不可；
(2)在运用数学归纳法时，要注意起点0n ，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目； (3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由n k =到1n k =+时命题变化的情况． 6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．
【强化演练】
1．已知数列{}n a 满足1230
12323222n n n n n
C C C a C +++=++++…*2
n n n
n C n N ++∈，． （1）求1a ， 2a ， 3a 的值；
（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明． 2．已知函数，记
，当
．
（1）求证：在
上为增函数； （2）对于任意
，判断
在
上的单调性，并证明． 3．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，
cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+=
1sin 12122sin 2
n x
x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）； （2）求234sin 2sin 3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin
6
π
⋅⋅⋅+的值. 4．已知函数()()00,0cx d
f x a ac bd ax b
+=≠-≠+，设()n f x 为()1n f x -的导数， *n N ∈.
（1）求()()12,f x f x ；
（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论.
5．已知()()()()()()01
111n
k
n
n
n
n k m n n n n n f x C x C x C x k C x n =--++--++--L L ，其中R x ∈，
*N n ∈， N k ∈， k n ≤.
（1）试求()1f x ， ()2f x ， ()3f x 的值；
（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论. 6．设
，
为正整数，数列的通项公式，其前项和为.
（1）求证：当为偶数时，；当为奇数时，
； （2）求证：对任何正整数，
.
7．数列{}n a 满足11a =且()1211
112n n
n
a a n n n +⎛⎫=+
+≥ ⎪+⎝⎭. （1）用数学归纳法证明： ()22n a n ≥≥；
（2）已知不等式()ln 1x x +<；对0x >成立，证明： ()3
4
21n a e n <≥（其中无理数
）.
8．记.
（1）求的值； （2）当时，试猜想所有的最大公约数，并证明.
9．设个正数
满足
且
. （1）当时，证明：；
（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到 且
个正数
的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.
10．已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于任意n ∈N *，都有1111
11
22111
n n n n
a a a a n n ++++<<+-+ 成立，且24a =． （1）求1a ，3a 的值；
（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并给出证明． 11．在数列E 中，已知F ，23-，2n n a b =(2n n
a b =
，
．
（1，13a =时，分别求
（2
12（Ⅰ）求(1)f -及(2)f 的值；
（Ⅱ）试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．
13．各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足 （
1）1n n x x +<； （2 14．设n ∈*N 且2n ≥，证明：
()
2
2015年江苏高考2221212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232n a a a a +++⋅⋅⋅+⎡⎣()234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅
]1n n a a -+．
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