关于购房贷款的数学模型
摘要:
本文根据银行购房贷款和我们的日常常识，建立数学模型，推导出月均还款总额、还款总额和利息负担总和的公式。并以在郑州市买房并向银行贷款40万元、还款10 年的房贷为例，利用借鉴的公式，计算出10年内月均还款额和所花费的本息总额，制成图表，将等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式作一次比较。
问题一：买房时是家里给予一些支持，还是自己工作后凭借自己工资购房，抑或是向银行贷款购房。
问题二：购房时假若向银行贷款买房，是采取哪种贷款方式进行购房，本文主要针对两种购房方式，即等额本息还款、等额本金还款法。
最后得出结论，等额本息还款法的月还款数不变，还款压力均衡，可以有计划地控制家庭收入的支出，也便于每个家庭根据自己的收入情况，确定还贷能力，但需多付些利息，所以适合收入不是很高的，经济条件不允许前期还款投入过大没有打算提前还款的收入处于稳定状态的人。而等额本金还款法，由于贷款人本金归还得快，利息就可以少付，还款总额比较少，并且随着时间的推移每月还款数越来越少，但前期还款额度大，因此适合当前收入较高者，有一定的经济基础，能承担前期较大还款能力，且有提前还款计划的人，这种方式对准备提前还款的人较为有利。
关键词：贷款买房; 等额本息与本金；月均还款总额
一、贷款买房的现状及房价
1.1贷款买房的现状
近几年，伴随着我国经济的快速发展，社会传统的房屋买卖方式受到较大冲击而日趋缩萎，取而代之的是银行按揭贷款买房成为新的购房潮流，并日渐盛行。这对现在社会的消费及生活所产生的积极意义与便利是不容抹杀。并且当今许多年轻人把购置一套属于自己的住房，当做是成家立业的一个标志或者前提，面对大中城市飙升的房价，大多数人会选择向银行贷款买房，目前银行提供的贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般有等额本息法，等额本金递减法，等额递增还款法，等额递减还款法，等比递增还款法，等比递减还款法等。而对这些贷款还款方式，如何根据自己的现在及预期未来的收入情况，作出一个合理的还款方案，是每个打算贷款买房的人都必须认真考虑的。
1.2房价问题
目前房价依旧很高，深圳的房价依旧遥遥领先于各城市房价，本文选取河南省郑州市的房价来进行分析（现位居于一线城市之列），日益增长的房价给予年轻人许多压力，贷款买房虽然可以提前得到房子，但意味着节衣缩食，月月上供，所以买多大的房子，贷多少钱，是首要考虑的问题。
1.3郑州市房价变化情况:
表1-1：2020年郑州市房价（均价）
时间/月价格/m2 房价变化率/%
2020.01 13334 +0.52
2020.02 13599 +1.99
2020.03 13544 -0.40
2020.04 13525 -0.14
2020.05 13481 -0.32
2020.06 13479 -0.01
2020.07 13552 +0.54
2020.08 13542 -0.07
2020.09 13522 -0.14
2020.10  13428 -0.69
2020.11 13291 -1.01
2020.12 13509 +1.65
根据表1-1可绘制出房价变化曲线图及房价变化率曲线图：
图1-1：2020年郑州市房价变化折线图
图1-2：郑州市房价变化率折线图
由上图分析可知，在一年12个月份中，第11月房价相对较低，第二月房价相对较高，推测应为春节期间看房人数太多导致房价上涨。
二、问题提出与模型假设
2.1问题的提出
银行房屋抵押贷款某人购房，需要贷款，有等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式，在某11月份买房。假设购买的房子为80m2，房款为110W，贷款40W，还款期10年，分别求:
(1)月供金额。
(2)总的支付利息。
比较两种还款法，给出自己的方案。
2.2问题的分析
目前有两种还款方式：
等额本息还款法:
每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清，容易作出预算。还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返，还供款中本金比重增加。等额本息还款法更适用于现期收入少，预期收入将稳定或
增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士。
等额本金还款法:
每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同，利息负担应该是随本金逐期递减。借款人在开始还贷时，每月负担比等额本息要重。但随着时间推移，还款负担便会减轻。所以我们可知等额本金还款法适合目前收入较高的人。
假设能够支付这两种不同的还款方式，我们需要建立等额本息和等额本金还款法的数学模型，以选择最佳还款方式。根据问题一和问题二，需分别建立两种还款方式的模型，并分别求出其月供金额和总的支付利息。
2.3问题假设
为了使问题更加明了清晰，便于计算，同时便于扩展因此特作如下假设:
1.假设该人每月能够按时支付房屋贷款所需的还款金额。
2.假设贷款年利率确定，无论还款期为多少年，在还款期间均为6%保持不变。
3.假设银行贷给该人的本金是在某个月的1号一次到位的，在本金到位后的下个月1号开始还钱。
2.4问题的参数
问题参数约定如下:
并可得到下列关系：
n=12m
D=C−A
A=nB
三、模型的建立与求解
3.1等额本息还款模型的求解:
(1)贷款期在1年以上:
先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1 号全部到位的，在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变
因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是(β/12)，也就是月利率a ，即有关系式: β=12a
设月均还款总额是x(元)
a i(i=1······n)是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额
b i(i=1······n)是客户在第i期1号还钱后欠银行的金额
根据上面的分析，有
第1期还款前欠银行的金额: a1=A(1+α)
第1期还款后欠银行的金额:b1=a1−x=A(1+α)−x
第2期还款前欠银行的金额:a2=b1(1+α)=A(1+a)2−x(1+a)
第2期还款后欠银行的金额: b2=a2−x=A(1+a)−x(1+a)−x
则可确定第i期还款前欠银行的金额、第i期还款后欠银行的金额，以及第n 期还款前后欠银行的金额。
因为第n期还款后，即会还清贷款，则：
b n=0
则有：
A(1+α)n−x(1+α)n−1−······−x(1+α)−x=0
A(1+α)n−x[(1+α)n−1−······−x(1+α)−x]=0
解方程为
x=Aα(1+α)n (1+α)n−1
即月均还款总额的公式
因此，客户总的还款总额等于
C=nx=Aα(1+α)n
(1+α)−1
-A
(2)1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清，
因此，1年
的还款总额为
C=(1+β)A
而利息负担总和为：
D=C-A=ΒA
3.2 等额本金还款模型的求解
银行除了向客户介绍上面的等额本息还款法外，还介绍另一种还款方法：等额本金还款法(递减法)：每
期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同.利息负担应该是随本金逐期递减.因此，客户每月除付给银行每期应付的本金外，