近期，教育部颁布了义务教育课程方案与
课程标准。下面主要谈一下《义务教育数学课
程标准（2022年版）》（以下简称2022年版课标）
修订的理念与要点，和大家一起讨论如何在教
学实践中落实。
（一）课标修订的背景。
课程改革是21世纪开始的基础教育改革
的核心，主要体现在课标的制定和落实上。
2001年颁布了《全日制义务教育数学课程标准
（实验稿）》（以下简称2001年版课标），同时出
版相应的教材。2005年出现了一些争议，教育12年义务教育
部启动数学课标的修订工作，要求我主持修订
工作。经过几年的研磨，《义务教育数学课程标
准（2011年版）》（以下简称2011年版课标）颁布
实施，主要变化体现在三个方面。
一是课程目标从“双基”拓展到“四基”，即在
传统的基础知识、基本技能的基础上增加了基本
思想、基本活动经验，使得过去只重视结果的教
育转向既重视结果也重视过程的教育；与此同
时，把“两能”拓展为“四能”，即在分析问题、解决
问题能力的基础上增加了发现问题、提出问题的
能力，以适应培养创新型人才的需要。这样的课
程目标的实现，需要学生经历亲身参与的数学教
学活动，在思考的过程中学会思考，在做事的过
程中学会做事，这就是经验的积累。
二是课程内容的调整。2001年版课标中
没有“几何”的概念，2011年版课标中把“空间
与图形”修改为“图形与几何”，并且确定若干个
几何基本事实，使得几何证明成为可能。可是，
当课标颁布以后，有些数学教研员问我：“是不
是只有几何中才有证明，代数中没有证明？”我
听了之后非常吃惊，因为现代数学的证明主要
是代数中的证明。后来我想明白了，他们之所
以提出这个问题，是因为2011年版课标中没有
明确给出代数的基本事实。为此，2022年版课
标中增加了两个代数的基本事实，我在后面再
详细谈这个问题。
三是把传统的数学三大能力，即运算能力、
推理能力和空间想象能力，拓展为十个核心词，
包括数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据
分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用
意识和创新意识。可以看到，新增加的数感、符
号意识等核心词都与抽象能力有关，弥补了我
国传统数学教育不重视抽象能力的倾向，须知
抽象能力的培养对数学学习来说非常重要。这
些在2001年版课标中已经有所体现，2011年版
课标中的表述更加全面和清晰。
“四基”的想法是在2006年形成的。因为
拿不准，于是请几位数学家到东北师范大学来，
记得有北京大学的姜伯驹、复旦大学的李大潜、
南开大学的侯自新、吉林大学的伍卓等，也请
当时教育部主管基础教育的副部长陈小娅、基
础教育司司长姜沛民等，一起商讨把“四基”作◇史宁中
核心素养统领的数学教育
——《义务教育数学课程标准（2022年版）》修订的理念与要点
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为课程目标是否可以。“四基”得到大家的一致
认可，尤其是大家对“基本活动经验”的提出非常认可。因为数学家都知道，数学的结论是“看”出来的而不是“证”出来的，要“看”出结论，需要经验的积累，凭借的是数学的直观。但是姜伯驹先生问我：“数学的基本思想是什么？”我当时还缺乏思考，于是回答：“以后写书来回答吧。”经过认真思考后，我确定了判断数学基本思想的两个原则：一是数学的产生和发展所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人应当具有的思维特征。根据这两个原则，我得出的结论是：数学基本思想包括抽象、推理、模型。于是就有了五卷本的《数学思想概论》和后来的《数学基本思想18讲》。这些基本思想对数学的作用大体如下：
通过抽象得到数学的研究对象。对现实生
活中的数量与数量关系、图形与图形关系进行抽象，得到研究对象及其关系，形成概念，用定义或符号表达。
通过推理得到数学的研究结果。借助归纳与类比，考察数学研究对象的性质、关系和规律，得到结论；借助计算和演绎，验证结论。
通过模型构建数学与现实世界之间的桥梁。通过模型，用数学的概念、方法和结论认识、理解和表达现实世界。
（二）课标修订的要点。
这次课标修订有两个根本任务，是所有学科都必须完成的。一是落实立德树人根本任务，这个任务需要通过核心素养落实。党的十八大提出教育要落实立德树人根本任务，十九大进一步强调。2014年，教育部提出通过核心素养的培养落实立德树人根本任务，并针对当时正在修订的高中课标提出用核心素养统领的明确要求。这次义务教育课标的修订，需要进一步落实核心素养。二是落实学科融合要求。学科融合不仅是深化基础教育改革的要求，也顺应了国际课程的发展趋势。义务教育课标的修订加强了学科间的相互关联，提倡把跨学科内容、传统文化内容融入数学课程。
数学学科具有特殊性，需要关注以下五个
问题。（1）如何划分学段？（2）如何把“四基”“四能”与核心素养有机融合？如何理解核心素养？（3）如何调整课程结构与内容？（4）如何丰富“综合与实践”的内容？（5）如何在小学阶段，体
现数的认识的一致性和数的运算的一致性？
在这里，我想特别说一下“数与运算”中的一致性问题，这涉及小学阶段的数学是否需要数学化的问题。现在的小学数学中，数的认识是通过现实背景实现的，如自然数是通过数量的个数认识的，小数是通过元、角、分或者米、分米、厘米认识的，分数是通过对“1”的等分认识的；数的运算是通过生产、生活问题的实际意义学习的，各说各的理，其中最典型的是分数和小数的除法，这是小学数学中的重点，也是难点。分数的除法可以用包含除说明[1]。例如，要
计算4÷13，先通过包含除认识1包含3个1
3，于
是得到1÷1
3=3；又因为任何数乘1结果不变，所
以4÷13=4×1÷13=4×(1÷1
3)=4×3。可是，任何数
除以1结果也不变，按照上面的方式，得到4÷13=4÷1÷13
，接下来，该怎么处理？这就变成了很复杂的事情。
小数的除法一般用商不变的规律说明。例如，0.4÷0.02=(0.4×100)÷(0.02×100)=40÷2=20。应当如何解释该算法的道理呢？在教学过程中，商不变的规律是根据自然数的除法归纳出来的，为什么对小数的除法也成立呢？
事实上，要回答上面提出的问题，比直接解释分数除法和小数除法的算理还要困难。正如弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中所说：“一味地依赖具体情境会使得除法问题变得更加复杂。由于教师与教材编写者对于如何从直观的分数进展到算法的分数，最终又如何引出分数的计算规则，缺乏适当的观念，从而使情况更为恶化。”事实上，解决问题的根本方法是数学化，也就是突出数学表达的一致性。数学教育的最终结果，必须使数的认识和运算脱离实际背景，这就是数学抽象的本质，也是数学具有
一般性的具体体现。后面还会谈到2022年版
课标是如何解决这个问题的。
培养的核心素养是什么，既包括数学核心素养的内涵，也包括数学核心素养的特征和表达。
（一）数学核心素养的内涵。
像前面说的那样，《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称2017年版高中课标）提出“数学学科核心素养”这一概念，是为了落实立德树人根本任务，2022年版课标将其进一步强化。这样，核心素养不仅涉及高中，也涉及小学和初中，还应当涉及大学甚至研究生的教育，可能还会指向教师和研究者的基本素养。因此，核心素养就应当具有三个基本特征。首先是内涵的一致性，即内涵要保持不变，是每一个学习过数学的人都应当具有的但又是终极的；其次是表现的阶段性，即不同学段有不同的表现，涉及身心发展、知识储备，也涉及经验积累；最后是表述的整体性，即既要有数学学科的特征，又要有数学教育的特征，既表述学科思维，又表述认知心理。因此学生通过数学教育所获得的核心素养，也可以简单表述为数学核心素养。
数学核心素养是具有数学基本特征的关键能力、思维品质及情感、态度与价值观的综合体现；是数学教育的、与人的行为（思维、做事）有关的终极目标；是学生在参与数学教学活动的过程中逐步形成和发展的；是经验的积累，是过
程性目标的拓展，是“四基”的继承和发展。而2022年版课标把数学核心素养表述为“三会”。这样，就需要重新理解数学。
会用数学的眼光观察现实世界，比数学抽象更加上位。什么是数学的眼光？为什么可以用于观察？数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式。通过对现实世界中基本数量关系与空间形式的观察，学生能够：直观理解所学的数学知识及其现实背景；在生活实践和其他学科中发现基本的数学研究对象及其
所表达的事物之间简单的联系与规律；在实际情境中发现和提出有意义的数学问题，进行数学探究；逐步养成从数学角度观察现实世界的意识与习惯，发展好奇心、想象力和创新意识。
会用数学的思维思考现实世界，比数学推理更加上位。什么是数学的思维？数学家是如何思考现实世界的？数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式。通过经历独立的数学思维过程，学生能够：
理解数学基本概念和法则的发生与发展，数学基本概念之间、数学与现实世界之间的联系；合乎逻辑地解释或论证数学的基本方法与结论，分析、解决简单的数学问题和实际问题；探究自然现象或现实情境中所蕴含的数学规律，经历数学“再发现”的过程；发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，初步养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神。
会用数学的语言表达现实世界，比数学模型更加上位。什么是数学的语言？为什么可以用数学的语言表达？数学为人们提供了一种描述与交流现实世界的表达方式，描述和交流时的语言就是数学的概念、结论与方法。通过经历用数学语言表达现实世界中的简单数量关系与空间形式的过程，学生能够：初步感悟数学与现实世界的交流方式；有意识地运用数学语言表达现实生活与其他学科中事物的性质、关系和规律，并解释表达的合理性；感悟数据的意义与价值，有意识地使用真实数据表达、解释与分析现实世界中的不确定现象；欣赏数学语言的简洁与优美，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，形成跨学科的应用意识与实践能力。
（二）数学核心素养的特征。
会用数学的眼光观察现实世界，体现于数学抽象，
对应数学的一般性；会用数学的思维思考
现实世界，体现于逻辑推理，
对应数学的严谨性；会用数学的语言表达现实世界，
体现于数学模型，对应数学应用的广泛性。虽然数学研究可以
分为不同的流派，
但数学的“三性”，即一般性、严谨性和应用的广泛性，
是全世界几代数学家的共
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识。因此“三会”具有明显的数学特征。
对于核心素养的教育特征，包括教学特征，我还没有想清楚，这需要结合教学实际进行深入研究，是数学教育研究者、教研员、一线教师的强项。我只知道核心素养的表述会用到意识、观念和能力等词语，这些词语表达了受教育者认知事物的载体和程度。其中，意识是指基于经验的感悟，观念是指基于概念的理解，能力是指基于实践的掌握，大概是这样的，供参考。
核心素养具有阶段性特征，因为数学核心素养贯穿数学教育的始终，在不同学段有不同的表现，是日积月累逐步形成的。大体上可以这样把握：低学段基于感官，更具体、更侧重意识；高学段基于概念，更一般、更侧重观念和能力。基于这样的构想，高中、初中、小学各学段数学核心素养的主要表现如下所示。
表1数学核心素养体系构成及对比
核心素养
数学的眼光
数学的思维数学的语言
高中
数学抽象
直观想象
逻辑推理
数学运算
数学建模
数据分析
初中
抽象能力
空间观念、
几何直观
推理能力
运算能力
模型观念
数据观念
小学
符号意识、
数感、量感
空间观念、
几何直观
推理意识
运算能力
模型意识
数据意识
另外，数学的眼光里统筹了创新意识，数学的语言里统筹了应用意识。
可以看到，这些核心素养的主要表现，统筹并发展了2011年版课标中的十个核心词和2017年版高中课标中的六个数学学科核心素养。
（三）数学课程性质的表述。
为了适应数学课程合理融入数学核心素养的需要，数学课程性质的表述发生了很大变化，因为必须兼容数学学科和数学教育的基本特征。2022年版课标中课程性质的表述，保留了“数学是研究数量关系和空间形式的科学”的基本观点，然后强调：
数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系；基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。
这种对数学的理解是从伽利略那个时代开始的。伽利略曾经感慨：“哲学被写在展现于我们眼前的伟大之书上，这里我指的是宇宙。但是，如果我们不首先学会用来书写它的语言和符号，我们就无法理解它。这本书是以数学语言写的，它的符号就是三角形、圆和其他几何图形，没有这些符号的帮助，我们简直无法理解它的片言只语；没有这些符号，我们只能在黑暗的迷宫中徒劳地摸索。”爱因斯坦是这样评价的：“由于伽利略看到了这一点，尤其是由于他向科学界谆谆不倦地教导这一点，他才成为近代物理学之父，事实上，也成为整个近代科学之父。”
伽利略和爱因斯坦所说的是，用数学的语言表达现实世界的规律，然后通过观察或实验验证数学表达的
正确性，这就是现代科学研究的基本方法。基于这样的认识，可以更好地理
解课程性质的表述和课标的理念，也可以把这样的认识融入日常的数学教学中。
课程内容的修订主要体现在学段的调整、内容结构化、体例表述变化、具体内容调整四个方面。
在学段安排上，小学由两个学段调整为三个学段，这样，义务教育阶段的数学教学共分为四个学段：第一学段为1~2年级，第二学段为3~4年级，第三学段为5~6年级，第四学段为7~9年级。对于周课时的安排，建议四个学段依次安排3、4、5、6个课时。理想的课时分配应该是这样的：低学段分配更多课时给语文学科，因为这个学段的学生不容易理解数学语言的表达，应
当先学会生活语言的表达；到了高学段，再增加
数学学科的课时分配。当然，
课时的具体分配
应依据地方教育管理部门的最终决定而定。在
课标的体例表述上，增加了“学业质量”一章，在“课程实施”中增加了“教学研究与教师培训”的相关内容。特别是，把传统的“课程内容”分为“内容要求”“学业要求”“教学提示”三个方面进行表述，分别涉及学生学习什么、学到什么程度、如何学习，无论是教材编写还是教师教学，都需要前后对照阅读、认真分析。
下面，主要分析课程内容的变化与相应的教学建议。
（一）主题整合。
课程内容的四大领域没有变化，但为了落实以核心素养为导向的课程目标，对各领域的主题进行了整合。整合时主要遵循两个原则。
一是在整合的形式上，基于抽象结构。抽象结构是现代数学研究的基本形式（详见参考文献[2]），可以表述为“研究对象+”的形式，其中“+”的内容可以是性质、关系、运算。亚里士多德在《形而上学》中是这样阐述的：“数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西，关于线、角，或者其他的量（的定义），不是作为存在而是作为关系。”希尔伯特认为：“欧几里得关于点、线、面的定义在数学上是不重要的，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论把它们称为点、线、面，还是把它们称为桌子、椅子、啤酒瓶，
最终推理得到的结论都是一样的。”[3]
这对教材编
写和教学的启示是：在考虑研究对象的概念的同时，还要强调研究对象的性质、关系、运算。例
如，在从数量中抽象出自然数的同时，还要一并从数量的多少关系中抽象出数的大小关系。
二是在整合的理念上，强调核心素养。第一个原则谈到，提倡研究对象概念的教学要与研究对象的性质、运算、关系的教学有机结合，事实上，这样的形式有利于开展“整体设计、分段实施”的以核心素养为导向的教学。这是因为核心素养往往与数学知识的具体内容无关，而与数学知识的表现形态关系密切，上面所说的概念、性质、运算、关系等要素都是数学知识
的表现形态。表现形态搭建了数学知识与核心素养之间的桥梁，例如，概念与抽象更为接近，性质与推理更为接近，关系与模型更为接近。因此，教师在未来的教学中，不仅要知道知识所表达的内容，还要进一步分析知识所具有的形态，基于表现形态落实以核心素养为导向的教学。
基于上述两个原则，对小学领域的主题进行了整合。例如，把原来“数与代数”领域的六个主题整合为两
个：把“数的认识”“数的运算”这两个主题整合为“数与运算”这个主题，把“常见的量”移至“综合与实践”领域，把“方程”“反比例”移至初中，把“探索规律”“式”“正比例”整合为“数量关系”这个主题（注：原来“式与方程”“正比例、反比例”各为一个主题）；把原来“图形与几何”领域的四个主题整合为两个：把“图形的认识”“测量”这两个主题整合为“图形的认识与测量”这个主题，把“图形的运动”“图形与位置”这两个主题整合为“图形的位置与运动”这个主题。
对于这样的整合，如第二个原则所说，建议开展“整体设计、分段实施”的以核心素养为导向的教学。也就是说，在教学设计上，建议集体备课，包括全学年、全学段甚至全校数学教师的集体备课，每位教师都应当知道自己所教的内容处于什么位置，知道知识的前后关系、素养的发展联系，最终把以核心素养为导向的教学落实到每一节数学课。显然，教学设计应当针对核心素养的一致性、阶段性和整体性。需要整体把握数学知识体系与知识所对应的核心素养；需要保证概念从最初提出到最后实际应用的一致性；需要体现数学知识的进阶，还要体现核心素养的进阶。再次说明，我只是提出一些想法和建议，供参考。
（
二）内容变化。
具体内容的变化除了遵从主题整合，
还遵循一个基本原则，这就是增加代数推理、
增强几
何直观。这个基本原则与高中数学课标的修订原则是一脉相承的，最终希望学生能够通过几何直观获得解决问题的思路，通过代数推理表述解决问题的过程。下面，
分别说明四个领域
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