初一数学竞赛系列训练1——自然数的有关性质
一、选择题
1、两个二位数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个数的和是( )
A、56 B、78 C、84 D、96
2、三角形的三边长a、b、c均为整数，且a、b、c的最小公倍数为60，a、b的最大 公约数是4，b、c的最大公约数是3，则a+b+c的最小值是（ ）
A、30 B、31 C、32 D、33
3、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( )
A、33 B、34 C、35 D、37
4、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数的个数是( )
A、24 B、12 C、6 D、0
5、若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是( )
A、25 B、26 C、27 D、28
6、设n为自然数，若19n+14≡10n+3 (mod 83)，则n的最小值是( )
A、4 B、8 C、16 D、32
二、填空题
7、自然数n被3除余2，被4除余3，被5除余4，则n的最小值是
8、满足[x,y]=6，[y,z]=15的正整数组(x,y,z)共有 组
9、一个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的三位数是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个，它的末位数是
10、有一个11位数，从左到右，前k位数能被k整除(k=1,2,3,…,11)，这样的最小11位数是
11、设n为自然数，则3 2 n+8被8除的余数是
12、14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是
三、解答题
13、求两个自然数，它们的和是667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120。
14、已知两个数的和是40，它们的最大公约数与最小公倍数的和是56，求这两个数。
15、五位数能被12整除，它的最末两位数字所成的数能被6整除，求出这个五位数。
16、若a,b,c,d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9
求证：4∣(a+b+c+d)
17、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数，这些两位约数中，最大的是多少？
18、求2400被11除，所得的余数。
19、证明31980+41981被5整除。初一数学竞赛系列训练1答案
1、设这两个数为a,b，由(a,b)=8得a=8m,b=8n，且(m,n)=1
由[a,b]=96得[m,n]=12，又(m,n)=1，所以m=3，n=4或m=4，n=3
所以a+b=8(m+n)=56，故选A
2、由题意知，b既能被4整除，又能被3整除，所以b能被12整除
又60能被b整除，所以b＝12或60
（1）若b＝12，则60÷ b＝5，因为5与4互质，5与3也互质，所以a、c中至少有一个含有因数5。
若a含有因数5，则a≥20，又c≥3，所以a+b+c≥20+12+3=35
若c含有因数5，则c≥15，又a≥4，所以a+b+c≥4+12+15=31
取a=4，b=12，c=15，能构成三角形
（2）若b＝60，则a+b+c＞60＞31
故a+b+c的最小值为31。
3、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除的数有50个；既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有6，12，18，…，96共16个，所以能被2整除但不能被3整除的数有50-16=34个，选B
4、∵ 七位数各位数字之和为32，不能被3整除，∴任意改变七位数末四位数字的顺序得到的所有七位数均不能被3整除，故选D
5、1995除以6的余数是3，且a≡1995 (mod 6)，所以a除以6的余数也是3，故选C
6、由19n+14≡10n+3 (mod 83) 知19n+14 –(10n+3)≡ 0 (mod 83)
∴9n+11≡ 0 (mod 83) ∴
当k=1时，n取最小值8。故选B
7、由题意得n+1是3、4、5的公倍数，最小的n=345-1=59
8、∵y 整除6又整除15，∴y 整除3，所以y=1,3.
代入可得：(6，1，15)，(2，3，5)，(2，3，15)，(6，3，5)，(6，3，15)五组解。
9、被4整除的最大三位数是996，所求四位数可表示成，∵9∣996x，∴x=3,于是所求的末位数是3。
10、2∣10，3∣102，4∣1020，5∣10200，6∣102000，7∣1020005，8∣10200056，9∣102000564，10∣1020005640，11∣10200056405，于是最小11位数是10200056405
11、∵3 2 n+8=9 n+8 ∴3 2 n+8≡1n+0 (mod 8)≡1 (mod 8) ∴3 2 n+8被8除的余数是1
12、设自然数N的末位数是a，则N≡a (mod 10)，从而N4≡a 4(mod 10)，
∴ 14≡1 (mod 10)，24≡6 (mod 10)，34≡1 (mod 10)，44≡6 (mod 10)，54≡5 (mod 10)，6
4≡6 (mod 10)，74≡1 (mod 10)，84≡6 (mod 10)，94≡1 (mod 10)，104≡0 (mod 10)
∴14+24+34+44+…+19944+19954≡199(14+24初一数学练习题+34+44+…+104)+ 14+24+34+44+54
≡199(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6+5≡19933+19≡7+9≡6 (mod 10)
故14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是6
13、设两个自然数是a,b (a≤b)，且(a,b)=d，并设a1=，b1=，则(a1，b1)=1，且a+b=d(a1+b1)=667=2329.
因为23，29都是质数，所以d=1或d=23或d=29
(1)若d=1，则[a,b]=ab=120
又因为a+b=667，所以a2-667a+120=0.但此方程中a不能是自然数，所以d≠1.
(2)若d=23，则有a1+b1=29
[a,b]=23[a1 ,b1]=23• a1• b1，所以a1• b1==120
∴ ，则，把120分解质因数，可得a1=5，从而b1=24。所以a=235=115，b=2324=552
(3)若d=29，则有a1+b1=23
[a,b]=29[a1 ,b1]=29• a1• b1，所以a1• b1==120
∴ ，则，把120分解质因数，可得a1=8，从而b1=15。所以a=298=232，b=2915=435
综上所得，本题有两组解：115，552或232，435
14、设这两个数为x,y，则x+y=40,且(x,y)+[x,y]=56，由于(x,y)[x,y]=xy，所以
设(x,y)=d，则x=da，y=db，且(a,b)=1，于是可得方程组
由于(40，56)=8，所以d=1,2,4,8 当d=1,2,4时方程组无整数解，所以d=8
d=8时，方程组变为，可得a=2,b=3或a=3,b=2，所以x=16或24，y=24或16，从而所求的两个数为16和24
15、由于五位数能被12整除，而12=34，且3，4互质，所以3∣且4∣。∴3∣(4+H+9+7+H)，即3∣(2H+20)，经试算H可取2、5或8，又因为6∣，所以2∣，故H为偶数，所以H取2或8，又因为4∣，所以4∣，所以H取2，所以这个五位数为42972。
16、∵a,b,c,d是互不相等的整数，则x-a,x-b,x-c,x-d也是互不相等的整数。
∵(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9，所以x-a,x-b,x-c,x-d均为9的约数，
而9=(-1)(+1)(-3)(+3)，则(x-a)+(x-b)+(x-c)+(x-d)= (-1)+(+1)+(-3)+ (+3)=0
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