第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题（初中二年级组·练习用）
一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）
2019 2 2 1009 2 2018
1.计算
1 2 2018
.
置都可以从三角形的一边到另一边旋转 60º来回喷水．假定三个喷水装置
的射程相等，要使草坪上所有区域都可以被喷水覆盖，那么被重复喷水的
最小面积是 平方米．
3. 从 2， 3， 4， 5 这四个数中，任取两个数 p,q( p q) ，构成函数 y px 2 和
y x q ，如果这两个函数图象的交点在直线 x 2 的左侧，那么这样的有
序数对( p,q) 共有 个．
4. 设 p 为质数，如果二次方程 x
2 2px p2 5p 1 0的两个根都是整数，那么
p 可能取的值有 个.
5. 如果1295 (6n 1) （其中n 是整数，且 1986≤n≤2018 ），那么满足条件的n 的
个数是 .
6. 如图所示，在正六边形 ABCDEF 内放有一个正方形
MNPQ ，正方形的顶点分别在正六边形的 4 条边上，
且 MN //BC ．若正方形 MNPQ 的面积为 12 6 3 平方
厘米，则正六边形 ABCDEF 的面积是 平方厘米．
7. 将 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 这 11 个数排成一行，使得任意 5
个相邻的数的和都是 5 的倍数．那么这样的排列方法有 种．
8. 四张卡片，每张写着一个自然数，任取 2 张，或者 3 张，或者 4 张，把卡
片上的数求和，可以得到 11 个不同的和，那么 4 张卡片上所有数的和最小
为 ．
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组)
二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9. 有 A ，B 两队野外徒步旅行，A 队在 B 队的西偏北 45 度处，两队相距 8 2
千 米．如果 A 队向东继续行走， B 队同时沿西偏南 45 度路线行走，且 A
队与 B 队的速度比是 2 ，求 A， B 两队最近时的距离．
10. 如果实数 x, y,z 同时满足关系式 x( y 2 z) z(z xy) ， y(z2 x) x(x yz) ，
z(x2 y) y( y zx) ，那么，实数 x, y,z 是否一定都相等？请给出证明．
11. 如图，在四边形 ABCD 中，ABC BCD 120 ，
AB BC ． 对角线 AC ， BD 相交于点 E ．
若 AE 3CE ，求证： AB 2CD ．
12. 从 76 个连续自然数 1，2，…，76 中任取 39 个数，其中必有 2 个数的差是
p ，求 p 的值．
三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13. 如图，在五边形 ABCDE 中， AB AE 1 ， CAD 45 ， E D
E EAB B 90 ，求点 A到直线 CD 的距离． C
A B
14. 如图，一个由 81 个小方格组成的 99 网格．先将其中的
任意 n 个方格染黑，然后按照以下规则继续染：如果某
个方格至少与 2 个黑格都恰好有 1 个公共顶点，那么就
将这个方格染黑．现在要按照这个方法将整个棋盘都染
成黑，那么 n的最小值是多少？说明你的结论．
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组)
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题·练习用参考答案
（初中二年级组）
一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 2018 1 24π 36 3 5 2 8 3 3 2 | 2304 14 | ||
二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
16 10 5 9. 【答案】 A ， B 两队最近时的距离是 | 千米． | |
【解答】如图，以 B 队初始位置为原点，正东、正北方向为 x 轴和 y 轴的正
方向，建立平面直角坐标系， B(0,0) ， A(8,8)．不妨
y
设 B 队的速度为 1，那么 A队的速度为 2 ，经过时间t | A | A1 | |||
x
后，B 队所在位置是 | 2 2 B ( t, t) ，A队所在位置是 1 2 2 | B1 | B | ||||
A1(8 2t,8) ，于是此时两队的距离 d 满足
2 2 2 2 2 2
8 2
d (8 2t t) (8 t) 5t 16 2t 128，当t 时，d 取到最
2 2 5
小值 | 512 16 10 千米． 5 5 | ||
10. 【答案】 x, y,z 一定都相等．
【证明】将原关系式变形，得 xy(y z) z(z x) ①， yz(z x) x(x y) ②，
zx(x y) y(y z) ③．
（1）当(xy()yz()zx)0时，不妨设 x y ，由③得 y 0 或者 y z ．若 y z ，则 x y z ；若 y 0 ，有 x 0 ，代入①，得 z 0 或者 z x 0 ，即 x y z 0 ．
（2）当 (x y)(y z)(z x) 0 时，将①②③相乘得 xyz(初一数学练习题xyz 1) 0，即 xyz 0 或
xyz ．如果 xyz 0 ，不妨设 y 0 ，由（1）知z0或者 z x ，矛盾！如果 xyz 1，
1
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第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组)
不妨设 x≥y≥z ，显然 x 0 ．假设 x y ，考虑②式，有 x(x y) 0 ，又1yz 0 ，
x
z x ，所以 yz(z x) 0 ．矛盾！所以 x y z ．
0
证毕！
11. 【证明】作 BM AC于M.
因为△ ABC 中， AB BC ，ABC=120 ，
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