2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学三》真题及答案详解
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。
A ．
()
0,1f
x ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在
B ．
()
0,1f
x ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在
C ．
()0,1f
x ∂∂，()
0,1f y ∂∂均存在 D ．
()0,1f
x ∂∂，()
0,1f y ∂∂均不存在 〖参考答案〗：A
〖参考解析〗f （0，1）＝ln （1＋0）＝0，由偏导数的定义，可得：
()()()()0000,1ln 1sin1,10,1lim lim sin1lim 0x x x x x f x f f
x x x
x →→→+-∂===∂-
因为00lim 1lim 1x x x x x x +-→→=≠=-，所以()
0,1f x ∂∂不存在。
因为()()()1110,10,0,1ln 1lim lim lim 111y y y f y f f y y y y y →→→-∂====∂--，所以
()
0,1f
y ∂∂存在。
2．函数
(
)()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩
的原函数为（
）
。
A ．(
))
()ln ,0
1cos sin ,0
x x F x x x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪+->⎩
B ．(
))
()ln 1,01cos sin ,0
x x F x x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪+->⎩
C ．(
))
()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪++>⎩
D ．(
))
()ln 1,01sin cos ,0
x x F x x x x x ⎧++≤⎪
=⎨⎪++>⎩
〖参考答案〗：D
〖参考解析〗当x ≤0时，可得：
(
)(1d ln f x x x C ==++⎰
⎰
当x ＞0时，可得：
()()()()()2
d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x x
x x
x x x x
x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰
在x ＝0处，有：
(110
lim ln x x C C -
→+=，()220
lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 由于原函数在（－∞，＋∞）内连续，所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故
(
))
()ln 1,0d 1sin cos ,0
x C x f x x x x x C x ⎧+++≤⎪
=⎨⎪+++>⎩⎰
令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为(
))
()ln 1,0
1sin cos ,0
x x F x x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪++>⎩。
3．已知微分方程式y′′＋ay′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。
A ．a ＜0，b ＞0
B ．a ＞0，b ＞0
C ．a ＝0，b ＞0
D ．a ＝0，b ＜0 〖参考答案〗：C
〖参考解析〗由题意，微分方程的特征方程为λ2＋aλ＋b ＝0。
当Δ＝a 2－4b ＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零。
若C 1、C 2都不为零，则微分方程的解为1212
x x
y C e C e λλ=+。因此，此时不能有解在（－∞，
＋∞）上有界。
当Δ＝a 2－4b ＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2。
若C 2≠0，则微分方程的解为
2
2
12a
a x x y C e
C e
-
-
=+。因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）上有界。
当Δ＝a 2－4b ＜0
时，特征方程的根为1,222
a i λ=-±
。
则通解为2
12a
2023年考研时间定了x y e
C x C x -
⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
。 要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a ＝0，结合Δ＝a 2－4b ＜0，可得b ＞0。
4．已知a n ＜b n （n ＝1，2，…），若级数1
n n a ∞=∑与1
n
n b
∞
=∑均收敛，则“级数
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛”是“
1
n
n b
∞
=∑绝对收敛”的（ ）。
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 〖参考答案〗：A
〖参考解析〗由级数
1
n n a ∞=∑与1
n
n b
∞
=∑均收敛，可得
()1
n
n n b
a ∞
=-∑为收敛的正项级数，进而绝对收敛。
若
1n
n a
∞
=∑绝对收敛，则由|b n |＝|b n －a n ＋a n |≤|b n －a n |＋|a n |与比较判别法，可得
1n
n b
∞
=∑绝对收敛。
若1
n
n b
∞=∑绝对收敛，则由|a n |＝|a n －b n ＋b n |≤|b n －a n |＋|b n |与比较判别法，可得
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛。
5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则*
A E O
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝（ ）
。 A ．****A B B A O
B A ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．****B A A B O
A B ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．****B A B A O
A B ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．****A B A B O
B A ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭
〖参考答案〗：B
〖参考解析〗由伴随矩阵的计算公式，代入（B ）选项计算可知：
*
***
*****
**A E B A A B B AA AA B A B O B O
A B O A BB B A E A B A B O A B E B A E O O A B E A B E
⎛⎫⎛⎫
--+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪
⎝⎭= 故B 项正确。
6．二次型f （x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（ ）。 A ．y 12＋y 22 B ．y 12－y 22
C ．y 12＋y 22－4y 32
D ．y 12＋y 22－y 32 〖参考答案〗：B 〖参考解析〗由题意可得f （x 1，x 2，x 3）＝2x 12－3x 22－3x 32＋2x 1x 2＋2x 1x 3＋8x 2x 3。 其对应的矩阵
211134143A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
根据
()()2
11
1
3
47301
4
3
E A λλλλλλλ----=-+-=+-=--+
可得A 的特征值为3，－7，0。
故选B 项。
7．已知向量1123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，2211⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，1259⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β，2101⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
β，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由与β1，
β2线性表示，则γ＝（ ）。
A ．33,4k k R ⎛⎫
⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．35,10k k R ⎛⎫ ⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．11,2k k R -⎛⎫ ⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．15,8k k R ⎛⎫ ⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
〖参考答案〗：D
〖参考解析〗设γ＝x 1α1＋x 2α2＝y 1β1＋y 2β2，则x 1α1＋x 2α2－y 1β1－y 2β2＝0。又
()121212211003,,,2150010131910011--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
ααββ
故可得：
121231,11x x c c R y y -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以可得：
12111555,888c c c c k k R -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=-+=-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
γββ
8．设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则E （|X －EX|）＝（ ）。
A ．1/e
B ．1/2
C ．2/e
D ．1
〖参考答案〗：C 〖参考解析〗方法1：由题意可知EX ＝1，所以
1, 0
1,1,2,...X X EX X X =⎧-=⎨-=⎩
。故可得：
发布评论