有理数的乘方（3种题型）
1.掌握有理数乘方的意义，正确判断幂的底数，掌握乘方运算的符号法则；
2.理解科学记数法的表示，会正确算出科学记数法表示的数的结果；
一．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在a n中，a叫做底数，n叫做指数．a n读作a的n次方．（将a n看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
二．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．三．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
一．有理数的乘方（共11小题）
1．（2022秋•鼓楼区校级期末）下列各组数中，相等的是（）
A．+32与+23B．﹣23与（﹣2）3C．﹣32与（﹣3）2D．|﹣3|3与（﹣3）3
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵32＝9，23＝8，故选项A不符合题意，
∵﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，故选项B符合题意，
∵﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意，
∵|﹣3|3＝27，（﹣3）3＝﹣27，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查有理数的乘法，有理数的乘方，解题关键在于掌握运算法则．
2．（2022秋•盐都区期中）计算：＝．
【分析】根据有理数乘方法则进行计算便可．
【解答】解：原式＝+，
故答案为：．
【点评】本题考查了有理数的乘方，熟记有理数乘方法则是解题的关键．
3．（2023•南京二模）与（﹣3）2的值相等的是（）
A．﹣32B．32C．（﹣2）3D．23
【分析】将原式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：∵（﹣3）2＝9，
A．﹣32＝﹣9；
B.32＝9；
C．（﹣2）3＝﹣8．
D．23＝8．
∴与（﹣3）2的值相等的是B．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．
4．（2022秋•仪征市期末）若一个数的立方为﹣27，则这个数是（）
A．﹣3B．3C．±3D．﹣9
【分析】根据有理数的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴这个数是﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算，本题属于基础题型．5．（2023春•泰兴市校级月考）计算：（）3＝．
【分析】求n个相同因数积的运算，叫做乘方，由此即可计算
【解答】解：（）3＝××＝．
故答案为：．
【点评】本题考查有理数的乘方，关键是掌握有理数的乘方运算法则．
6．（2022春•灌南县期中）已知83＝a9＝2b，试求b a的值．
【分析】根据83＝（23）3＝29，即可确定a和b的值，进一步求解即可．
【解答】解：∵83＝a9＝2b，
又∵83＝（23）3＝29，
∴a＝2，b＝9，
∴ba＝92＝81．
【点评】本题考查了有理数的乘方，幂的乘方等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
7．（2023•海陵区一模）﹣32的值等于（）
A．﹣9B．9C．6D．﹣6一光年等于多少年
【分析】利用有理数的乘方判断．
【解答】解：﹣32＝﹣9，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方．
8．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，A，B，C，D，E是数轴上5个点，A点表示的数为9，E点表示的数为9100，AB＝BC＝CD＝DE，则数999所对应的点在线段上．
【分析】先根据AB＝BC＝CD＝DE，计算出每一个线段的长度，再把AB的长度与999﹣9进行比较即可．【解答】解：∵A点表示数为9，E点表示的数为9100，
∴AE＝9100﹣9，
∵AB＝BC＝CD＝DE，
∴，
∴B点表示的数为，
∵
＝，
∴＞0，
∴数999所对应的点在B点左侧，
∴数999所对应的点在AB点之间，
故答案为：AB．
【点评】本题考查了数轴，掌握两点之间的距离是正确解答的前提，估算出的大小是得出正确答案的关键．
9．（2023春•宿豫区期中）已知3＝m5＝（）n，求m+n的值．
【分析】根据幂的乘方、负整数指数幂解决此题．
【解答】解：∵310＝m5＝（）n，
∴310＝95＝m5＝3﹣n．
∴m＝9，n＝﹣10．
∴m+n＝9+（﹣10）＝﹣1．
【点评】本题主要考查幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握幂的乘方、负整数指数幂是解决本题的关键．10．（2022秋•鼓楼区校级月考）已知|x|＝5，y2＝16，且x+y＞0，那么x﹣y＝．
【分析】利用绝对值的定义，乘方运算确定x、y的可能取值，再代入数据求x﹣y的值．
【解答】解：∵|x|＝5，y2＝16，
∴x＝±5，y＝±4，
∵x+y＞0，
∴x＝5，y＝±4，
x﹣y＝5﹣4＝1，
x﹣y＝5﹣（﹣4）＝9，
∴x﹣y的值为1或9．
故答案为：1或9．
【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的加减，绝对值，解题的关键是掌握有理数的乘方运算，有理数的加减运算，绝对值的定义．
11．（2023春•吴江区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝，（，16）＝2，（﹣2，﹣8）＝；
（2）有同学在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，
∴（3n）x＝4n
即（3，4）＝x，
∴（3n，4n）＝（3，4）．
②若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，请你尝试运用上述这种方法证明a+b＝c；
②猜想[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝（，）（结果化成最简形式）．【分析】（1）根据规定，利用乘方的运算解答即可；
（2）①根据规定，利用同底数幂乘方的运算法则证明即可；
②根据规定，利用同底数幂乘方的运算法则，以及多项式乘以多项式的运算法则解答即可．
【解答】解：（1）∵32＝9，
∴（3，9）＝2；
∵42＝16，
∴（4，16）＝2；
∵（﹣2）3＝﹣8，
∴（﹣2，﹣8）＝3．
故答案为：2，4，3；
（2）①∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，
∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，
∴4a×4b＝5×6＝30＝4c，