标准差的简洁公式
一、标准差的定义
在介绍标准差的简洁公式之前，我们先来了解一下标准差的定义。标准差是一个数据集合的平均值与每个数据点的离差平方和的平均值的平方根。换句话说，标准差是用来衡量一个数据集合的离散程度的。
举个例子，假设有一个班级的成绩单，里面有10个学生的成绩，分别是60、70、80、90、100、60、70、80、90、100。我们可以先求出这些成绩的平均值，即：
（60+70+80+90+100+60+70+80+90+100）÷10=80
接下来，我们可以计算每个成绩与平均值的差值，即：
60-80=-20
70-80=-10
80-80=0
90-80=10
100-80=20
60-80=-20
70-80=-10
80-80=0
90-80=10
100-80=20
然后，我们可以计算这些差值的平方和，即：
(-20)+(-10)+0+10+20+(-20)+(-10)+0+10+20=2000
最后，我们可以将这个平方和除以数据集合的大小，再求平方根，即：
√(2000÷10)=14.14
这个结果就是这个数据集合的标准差。换句话说，这个班级的成绩比较分散，标准差比较大。
二、标准差的公式
虽然标准差的计算公式看起来有些复杂，但是它可以被简化成一种更易于理解的形式。具体来说，标准差的公式可以写成：
标准差=√(平均值的平方-每个数据点的平方的平均值)
这个公式可以被称为标准差的简洁公式。它的计算过程与上面的例子是一样的，只不过省略了一些中间步骤。
标准差怎么算
举个例子，假设有一个数据集合，里面有5个数据点，分别是1、2、3、4、5。我们可以先求出这些数据点的平均值，即：
(1+2+3+4+5)÷5=3
接下来，我们可以计算每个数据点的平方，即：
1=1
2=4
3=9
4=16
5=25
然后，我们可以计算这些平方的平均值，即：
(1+4+9+16+25)÷5=11
最后，我们可以将这个平均值减去平均值的平方，再求平方根，即：
√(11-3)=1.58
这个结果就是这个数据集合的标准差。换句话说，这个数据集合的数据点比较接近平均值，标准差比较小。
三、标准差的应用
标准差在统计学中有很多应用。其中最常见的应用之一是在正态分布中。正态分布是一种连续的概率分布，它的形状类似于钟形曲线。在正态分布中，大约68%的数据点会落在平均值加减一个标准差的范围内，大约95%的数据点会落在平均值加减两个标准差的范围内，大约99.7%的数据点会落在平均值加减三个标准差的范围内。
举个例子，假设一个人的身高符合正态分布，平均身高为175厘米，标准差为5厘米。根据上面的规律，大约68%的人的身高会在170厘米到180厘米之间，大约95%的人的身高会在165厘米到185厘米之间，大约99.7%的人的身高会在160厘米到190厘米之间。这个规律可以帮助我们更好地理解数据的分布情况。
标准差还可以用来比较不同数据集合的离散程度。如果两个数据集合的平均值相同，但是一个数据集合的标准差比另一个数据集合大，那么这个数据集合的数据点就比较分散。相反，如果一个数据集合的标准差比另一个数据集合小，那么这个数据集合的数据点就比较接近平均值。
总之，标准差是统计学中的一个重要概念，它可以用来衡量一个数据集合的离散程度。虽然标准差的计算公式看起来有些复杂，但是它可以被简化成一种更易于理解的形式。标准差在统计学中有很多应用，包括在正态分布中和比较不同数据集合的离散程度。
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