指数函数x a 的微分公式及其推导
一、证明思路和方法
指数函数x
a 和对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数，所以，可以先用定义法求出x y a =的导数，然后根据反函数求导法则得到log a y x =的导数。
二、对数函数log a y x =的导数推导
由log a y x =得()log log a a x x x y x x
+∆-∆=∆∆=log a x x x x +∆⎛⎫ ⎪⎝⎭∆=log 1a x x x
∆⎛⎫+ ⎪⎝⎭∆=1log 1a x x x ∆⎛⎫⋅+ ⎪∆⎝⎭=1log 1a x x x x x ∆⎛⎫⋅⋅+ ⎪∆⎝
⎭=
1log 1x x a x x x ∆∆⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭即()log log a a x x x y x x +∆-∆=∆∆=1log 1x x a x x x ∆∆⎛⎫⋅+ ⎪⎝
⎭因为0lim log 1log x x a a x x e x ∆∆→∆⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，
所以，()0log 'lim
a x y x x ∆→∆=∆=01lim log 1x
x a x x x x ∆∆→∆⎛⎫⋅+ ⎪⎝
⎭=
01lim log 1x x a x x x x ∆∆→∆⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1log a e x =111log ln e x a x a
⋅=所以()1log 'ln a x x a =
。
三、反函数求导法则
设()y f x =为()x y ϕ=的反函数，若()y ϕ在点0y 的某邻域上连续，严格单调且()0'0y ϕ≠，则()f x 在点()()000x x y ϕ=上可导，且()()
001''f x y ϕ=。【证明】设()()00x y y y ϕϕ∆=+∆-，()()00y f x x f x ∆=+∆-，因为ϕ在0y 的某邻域内连续且严格单调，
所以1f ϕ-=在0x 的某邻域内连续且严格单调。从而当且仅当0y ∆=时0x ∆=，
指数函数求导并且当且仅当0y ∆→时0x ∆→，
由()0'0y ϕ≠得：
()00'lim
x y f x x ∆→∆=∆=0lim y y x ∆→∆∆=01lim y x y
∆→∆∆=()
01'y ϕ即()0'f x =
()01'y ϕ。四、指数函数x a 的导数公式推导
因为x
y a =（x R ∈）为对数函数log a x y =（()0,y ∈+∞）的反函数，所以，根据反函数的导数公式得：
()()1'log 'log x a a y a y e
==，又因为x y a =，所以()'ln log log x
x
x a a y a a a a e e ===，即：()'ln x
x a a a =。五、指数函数x
a 的微分公式由()'ln x x a a
a =得：()()()'ln x x x d a a dx a a dx ==，即：()()ln x x d a a a dx =。