第2讲 函数与导数
一、单选题
1.(2022·全国·高考真题)已知函数的定义域为R,且,则       
A.    B.    C.0    D.1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意赋值即可知函数的一个周期为,求出函数一个周期中的的值,即可解出.
【详解】
因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,故,即,所以函数的一个周期为
因为,所以
一个周期内的.由于22除以6余4,
所以
故选:A.
2.(2022·全国·高考真题(理))已知函数的定义域均为R,且.若的图像关于直线对称,,则       
A.    B.    C.    D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对称性和已知条件得到,从而得到,然后根据条件得到的值,再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】
因为的图像关于直线对称,
所以
因为,所以,即
因为,所以
代入得,即
所以
.
因为,所以,即,所以.
因为指数函数求导,所以,又因为
联立得,
所以的图像关于点中心对称,因为函数的定义域为R,
所以
因为,所以.
所以.
故选:D
【点睛】
含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,考生需要根据已知条件进行恰当的转化,然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
3.(2022·全国·高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为,且,则该正四棱锥体积的取值范围是(       
A.    B.    C.    D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设正四棱锥的高为,由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系,由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】
球的体积为,所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为,高为
,
所以
所以正四棱锥的体积
所以
时,,当时,
所以当时,正四棱锥的体积取最大值,最大值为
时,时,,
所以正四棱锥的体积的最小值为
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选:C.
4.(2022·全国·高考真题)设,则(