第二章一元函数微分学
一．
先回顾导数的定义：
设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数
在处的导数，记为：或；或简记为．
注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义：
1．=；
2．；
要特别关注处的导数有特殊形式：
（更特别地，
要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。函数在处可导的充要条件是对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.
例1．已知=A，试求下列极限的值
（1）
（2）。
例2．研究函数在处的可导性.
解：因为
同理，可求得.
由于，所以在处不可导。（记住这个结论）练习：设在处可导，求的值.
解：（一）因为在处可导，从而在处也连续.
所以，即
（二）
由得.
例3．已知，试求在处的导数.
解：因为，所以，
由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个型的极限.故求
导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.如把函数在一点处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如：，求.二．导数的几何意义
关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。一种题型是选择题或判断题。比如：若函数在处可导，则曲线在处必有切线；（√）；
反之，若曲线在处有切线，则在处必可导，则（×）.另一种题型是根据几何意义切线.
例4．求曲线与直线垂直的切线.
解：设切点.
切线斜率由题意，即
故切线方程为
下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来.
例5．设为连续函数，且求曲线在点处的切线方程。（08年研究生考试题）
解：由于，且
故（前面已讲过理由）
而，
所以，切线方程为
三．导数的四则运算
四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。下面举几个小例子.
例6．求的导数.
注意：部分同学可能会犯下面的错误：.
例7．设求
此题应先化简再求导：
注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混.
例8．求的导数.
解：
.
四．反函数求导法则
若函数，其反函数为.若在的某邻域内连续、严格单调且，则在点可导，且
.
例9．求的导数.
解：设原函数，则其反函数为.
根据反函数求导法则.有
.
五．复合求导法则
大家可能还有印象，复合函数的导数是
.（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？）如果记，则
，
故此题恰好满足等式：
（*）
这是否是巧合的？我们说不是.事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理：若函数在可导，而函数在对应的处也可导，
则复合函数在处也可导，且
或（或.
注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如：对函数，如记，
则各变量间的关系是：
有
上式可通过连续使用两次链式法则得到。大家不难将上式的结果再推广可得复合四次以上的情形下的链式法则.不过，一般只会遇到复合三次以下的情形.
例10．求的导数
解：记，则.由链式法则，有
.
注意：（1）上述解法的结果无疑是对的，因为它与前面我们用四则求导法则得到的结果完全一致；但上述解法中有个别地方记号不对，谁能指出来？
（2）正确写法是：
.
（3）大家注意到倒数第二步还有一个将中间变量的记号用x的函数进行回代的过程，也就是说，最后的结果中不再含有中间变量的记号u，请
大家作题时不要忘记回代;
(4)显然中间变量的记号可以任意，比如：例1中，将u的记号换记为v，
不会改变最后的结果。
例11．求的导数.
解：记，则.指数函数求导
例12．求的导数.
解：先将分解为基本初等函数，即
.
注意：既然最后的结果与中间变量的记号并无关系，聪明的同学肯定会提出一个想法：能不能不明确地写出中间变量的记号，这样，可省去烦琐的中间变量的回代过程.
例13．（重做例3）