定积分的求导公式是积分学中的重要内容之一、它们是一些特定函数的导数的规律表达。下面我将详细介绍定积分求导的常见公式。
1.基本初等函数的导数公式：
常数函数：$f(x)=C$的导数为$f'(x)=0$。
幂函数：$f(x) = x^n$ 的导数为 $f'(x) = nx^{n-1}$。
指数函数：$f(x) = a^x (a > 0, a \neq 1)$ 的导数为 $f'(x) = a^x\ln(a)$。
对数函数：$f(x) = \ln(x)$ 的导数为 $f'(x) = \frac{1}{x}$。
三角函数：$f(x) = \sin(x)$ 的导数为 $f'(x) = \cos(x)$；$f(x) = \cos(x)$ 的导数为 $f'(x) = -\sin(x)$；$f(x) = \tan(x)$ 的导数为 $f'(x) = \sec^2(x)$。
反三角函数：$f(x) = \arcsin(x)$ 的导数为 $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \arccos(x)$
的导数为 $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \arctan(x)$ 的导数为 $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$。
2.基本公式和性质：
定积分的线性性：如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可导，则有 $\frac{d}{dx}\left(\int_a^b (f(x)+g(x)) dx\right) = \frac{d}{dx}\left(\int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx\right)$。
定积分的常数倍性：如果 $f(x)$ 可导，则有 $\frac{d}{dx}\left(\int_a^b kf(x) dx\right) = k\frac{d}{dx}\left(\int_a^b f(x) dx\right)$。
换元公式：如果 $f(g(x))$ 可导，则有 $\int_a^b f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du$，其中 $u = g(x)$。
分步积分法：如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可导，则有 $\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx$。
定积分的可加性：如果 $f(x)$ 在 $[a, c]$ 和 $[c, b]$ 上可导，则有 $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$。
3.一些特殊函数的导数公式：
指数函数求导反函数的导数：如果 $y = f(x)$ 的反函数存在，且 $f(x)$ 在区间内连续可导，则反函数 $x = f^{-1}(y)$ 在对应区间内连续可导，并且 $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$。
复合函数求导：如果$y=f(g(x))$可导，其中$g(x)$在点$x$可导，$f(u)$在点$u=g(x)$可导，则链式法则给出$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$。
积分下限为常数的情况：如果 $I(a) = \int_a^b f(x) dx$ 可导，则有 $\frac{dI(a)}{da} = -f(a)$。
积分上限为常数的情况：如果 $J(b) = \int_a^b f(x) dx$ 可导，则有 $\frac{dJ(b)}{db} = f(b)$。
这些是定积分求导的常见公式和规律，它们是积分学的基础知识。掌握了这些公式，可以更方便地求解一些复杂的积分并研究它们的性质。
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