安徽省高等数学大一教材答案
第一章：函数与极限
1.若函数f(x) = 2x + 1，则f(3)的值为多少？
答：将x替换为3，得到f(3) = 2(3) + 1 = 7。
2.已知函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求f(-2)的值。
答：将x替换为-2，得到f(-2) = (-2)^2 + 3(-2) - 2 = 4 - 6 - 2 = -4。
3.求函数f(x) = e^x的导数f'(x)。
4.求函数f(x) = ln(x)的导数f'(x)。
答：根据对数函数的求导法则，ln(x)的导数等于1/x，即f'(x) = 1/x。
5.若极限lim(x->1) [(x + 1) / x] = L，求常数L的值。
答：将x替换为1，得到L = (1 + 1) / 1 = 2。
第二章：导数与微分
1.求函数f(x) = x^3 - 2x的导数f'(x)。
答：对于多项式函数，求导时将指数降一，并乘上原指数的系数。所以f'(x) = 3x^2 - 2。
2.求函数f(x) = sin(x)的导数f'(x)。
答：根据三角函数的求导法则，sin(x)的导数等于cos(x)，即f'(x) = cos(x)。
3.求函数f(x) = e^x * ln(x)的导数f'(x)。
答：根据乘法法则和指数函数的求导法则，f'(x) = e^x * ln(x)' + e^x * ln(x)'。再根据对数函数的求导法则和指数函数的求导法则，得到f'(x) = e^x * (1/x) + e^x * (1/x) = 2e^x / x。
4.求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数f'(x)。
答：根据复合函数的求导法则和对数函数的求导法则，f'(x) = (2x) / (x^2 + 1)。
5.若函数f(x)在点x = a处可导，且f(a) = 1，f'(a) = 2，求函数g(x) = f(x^2)在点x = √a处的导数g' (√a)。
答：根据链式法则，g'(√a) = 2a * f' (a^2) = 2a * f' (a) = 2a * 2 = 4a。由于x = √a，所以g' (√a) = 4 * (√a)。
第三章：定积分与不定积分
1.求函数f(x) = 2x在区间[1, 3]上的定积分∫[1, 3] f(x) dx。
答：根据定积分的定义，∫[1, 3] f(x) dx = [2x]^3_1 = 2 * 3 - 2 * 1 = 4。
2.求函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分∫[0, 2] f(x) dx。
答：∫[0, 2] f(x) dx = [x^3 / 3]^2_0 = (2^3 / 3) - (0^3 / 3) = 8/3。
3.求函数f(x) = 3x^2 + 2x在区间[-1, 1]上的定积分∫[-1, 1] f(x) dx。
答：∫[-1, 1] f(x) dx = [x^3 + x^2]^1_-1 = (1^3 + 1^2) - ((-1)^3 + (-1)^2) = 4。
指数函数求导
4.求函数f(x) = 1/x在区间[1, 2]上的定积分∫[1, 2] f(x) dx。
答：∫[1, 2] f(x) dx = [ln|x|]^2_1 = ln|2| - ln|1| = ln(2)。
5.求函数f(x) = sin(x)在区间[0, π/2]上的定积分∫[0, π/2] f(x) dx。
答：∫[0, π/2] f(x) dx = [-cos(x)]^π/2_0 = -cos(π/2) - (-cos(0)) = -1 - (-1) = 0。
第四章：微分方程
1.求微分方程dy/dx = 2x的通解。
答：将方程分离变量得到dy = 2x dx，两边同时积分得到y = x^2 + C，其中C为常数，即为该微分方程的通解。
2.求微分方程dy/dx + y/x = 2的通解。
答：首先将方程化为线性微分方程的形式，即dy/dx + (1/x)y = 2。然后求得积分因子μ(x) = e^(∫(1/x) dx) = e^lnx = x，将方程乘以积分因子得到x(dy/dx) + y = 2x。再利用乘积法则对x(d
y/dx) + y = 2x进行求导，得到d(xy)/dx = 2x^2。对方程两边同时积分得到xy = 2/3 x^3 + C，其中C为常数，即为该微分方程的通解。
3.已知微分方程dy/dx = e^x / y，且点(0, 1)在其上，求特解。
答：将方程分离变量得到y dy = e^x dx，两边同时积分得到1/2 y^2 = e^x + C，将初始条件(0, 1)带入得到1/2 (1)^2 = e^0 + C，求解得到C = 1/2。因此特解为1/2 y^2 = e^x + 1/2。
4.求微分方程d^2y/dx^2 - 2dy/dx + y = 0的通解。
答：首先设通解为y = e^(rx)，将其带入微分方程得到r^2e^(rx) - 2re^(rx) + e^(rx) = 0。化简得到r^2 - 2r + 1 = 0，解得r = 1，r为二重根。所以通解为y = C1e^x + C2xe^x，其中C1和C2为常数。
5.已知微分方程dy/dx = 2x^2 + y^2，且点(0, 1)在其上，求特解。
答：根据题目条件，令y = qx，将方程变为x dy/dx - y = 2x^3 + y^3x。对于这样形式的一阶非齐次线性微分方程，我们可以利用积分因子法。首先求得积分因子μ(x) = e^(∫(-1/x) dx) = e
^(-lnx) = 1/x。将方程乘以积分因子得到dy/dx - (1/x)y = 2x^2 + y^2/x。再利用乘积法则对(x dy/dx - y) / x = 2x + y^2/x进行求导，得到d((x^2 - y)/x)/dx = 2x。对方程两边同时积分得到(x^2 - y)/x = x^2 + C，其中C为常数。将初始条件(0, 1)带入得到(-1)/0 = 0^2 + C，但由于分子为无穷大，所以C不存在。因此特解为(x^2 - y)/x = x^2。
发布评论