对矩阵的迹求导
对矩阵的迹求导
矩阵是数学中重要的概念之一，它广泛地应用于各个领域中。在矩阵运算中，对矩阵的迹求导是一个十分重要的问题。本文将从矩阵、矩阵的迹以及对矩阵的迹求导等方面进行阐述和探讨。
一、矩阵的概念和运算
矩阵是一个非常重要的数学概念，不仅涉及数学本身，还涉及到其他领域，如物理、化学、经济学、计算机科学等等。矩阵可以看作是由数个数排成一排（称之为行）或一列（称之为列），比如：
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$
其中包含了3行3列9个数，它被称为一个3x3的矩阵。
我们可以对矩阵进行加、减、乘等操作，其中加法和减法很容易理解，乘法有两种情形。
1. 矩阵与标量相乘
给定一个标量k和一个矩阵A，我们可以定义矩阵与标量的乘法，即：
$$ kA= \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix} $$
eg.
$$ 3\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6\\ 9 & 12 \end{bmatrix} $$
2. 矩阵与矩阵相乘
对于两个矩阵A和B，只有当A的列数与B的行数相同时，它们才可以相乘。那么，它们的乘积C的定义为：
$$ C_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}A_{i,k}B_{k,j} $$
其中，m表示A和B中的矩阵元素的数量。
eg.
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22\\ 43 & 50 \end{bmatrix} $$
因此，可以看出矩阵的乘法不是交换的，即A·B≠B·A。
二、矩阵的迹
矩阵的迹（trace）是一个非常基础但却非常重要的概念。对于一个n阶矩阵A，我们可以将其主对角线上的元素相加得到一个数，即：
$$ \text{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}A_{ii} $$
eg.
$$ \text{tr} \left(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\right) =1+5+9=15 $$
相比于矩阵的其他操作，迹的计算非常简单，但迹却具有极强的代数意义。例如，矩阵的迹在计算矩阵的特征值、行列式等方面非常重要。
三、对矩阵的迹求导
对于矩阵的迹求导是一个相对较为困难的问题，因为矩阵是一个复合函数，而每个矩阵元素都是一个函数，求导需要进行逐元素求导。我们假设矩阵A是一个m×n的矩阵，即：
$$ A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
于是我们有：
$$ \text{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn} $$
因为矩阵的迹是对角线上的数字之和，每个元素之间都是相互独立的，因此可以将每个元素的导数相加求得矩阵的迹的导数，即：
$$ \frac{\partial}{\partial A_{ij}}\text{tr}(A)=\begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i\neq j \end{cases} $$
因此，最终可以得到对矩阵的迹的导数如下：
指数函数求导
$$ \frac{\partial}{\partial A}\text{tr}(A)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} =I $$
其中，I表示单位矩阵，也可以理解为是一个m×n的矩阵，并且其主对角线上的元素均为1，其余元素均为0。
四、对矩阵函数的迹求导
同样地，如果函数f是一个关于矩阵A的函数，那么对于矩阵函数f(A)的导数，我们仍然可以使用链式法则进行求解。假设f(A)是一个n×n的函数，由于矩阵A是m×n的，而在矩阵的乘法和加法中，这种类型不允许直接进行运算。
因此，为了便于计算，我们采用矩阵对数的形式进行求解：
$$ \text{tr}(f(A))=\text{tr}(\exp(\log(f(A))))=\text{tr}(\log(f(A))\exp(\log(f(A)))) $$
其中，exp表示指数函数，log表示对数函数。可以发现，使用矩阵的对数形式表示，有助于我们进行求导计算。
因为可以通过矩阵对数的形式表示f(A)，所以我们有：
$$ \frac{\partial}{\partial A}\text{tr}(f(A))=\frac{\partial}{\partial A}\text{tr}(\log(f(A))\exp(\log(f(A)))) $$
根据前面所述的对矩阵的迹的求导，我们可以得到：
$$ \frac{\partial}{\partial A}\text{tr}(f(A))=\exp(\log(f(A)))(\frac{\partial}{\partial A}\log(f(A))) $$
其中，$\frac{\partial}{\partial A}\log(f(A))$表示对矩阵对数的函数进行求导，即：
$$ \frac{\partial}{\partial A}\log(f(A))= [\frac{\partial}{\partial A}\log(f_{11}(A)) \cdots  \frac{\pa
rtial}{\partial A}\log(f_{1n}(A)) \\  \vdots \\  \frac{\partial}{\partial A}\log(f_{m1}(A)) \cdots  \frac{\partial}{\partial A}\log(f_{mn}(A))] $$