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一.隐函数的导数
1.显函数；y=f(x)等号左端是因变量的符号，右端是只含自变量的式子能确定函数值。
隐函数：Ｆ(x,Y)=0也表示函数，确定了y=y(x). 显化——化隐函数为显函数。有时不容易，甚至不可能。但实际中需求其导数。 2.隐函数的求导方法
由于F(x,y)=0确定了y=y(x)，故在F(x,y)=0中，把y 看成x 的函数，则将F(X,Y)=0的两边同时对X 求导后再解出.y '
如：122=+y x 两边对x 求导有y
x y y y x -='∴='⋅+022
例1：y=cos(x+y)求x y '
()()()()
y x y x y y y x y +++-
='∴'++-='sin 1sin 1sin
例2：
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y y x y
x x y
x y x
y y x x y
a r c t g '
+⋅
+=-'⋅++=221)
(11ln 2
2
222
2
y
x y
x y x -+=
' ex:='=--=
'=-++y e xy xe ye y e
x y y x xy
xy xy
,11
,0
例3：求曲线x 2+y 4=17在x=4处的切线方程。
()()())
4(214211,41,41,420
42213
-=+--=-∴-∴±==-
='='+x y x y P P y x y
x
y y y x 又 例4：求由方程0sin 2
1==-y y x ，确定的隐函数的二
阶导数x
d y
d 22。
y
dx dy y y y cos 22
0cos 211-=='⋅+'-
()()()()32222cos 2sin 4cos 2cos 22
sin 2cos 2cos 2cos 22y y y y
y y y y dx d dx y d -=--⋅
=-'⋅'--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-= 3.对数求导法
先在y=f(x)两边取对数，然后用隐函数求导法求出导数——对为幂指函数及连 积。
例1：x x y =即不是幂指函数，又不是指数函数，称为幂指函数。 两边取对数
x x y ln ln =
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两边对x 求导()()1ln 1ln 1
ln 1+=+='⋅+='⋅x x x y y x
x x y y
x
*()⎪
⎭⎫ ⎝⎛'+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=''+'='=>=u u v u v u u u v u v y y u u
v u v y y u
v y u u y v v ln ln 1ln 1ln ln 0
ex:
2
2ln ln x
x xy y y xy y y x x
y --='= 例2：()()()
()()()[]2ln 1ln 1ln 23
1
ln 21132
----+=
--+=x x x y x x x y 假设x>4
()()()⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----+--+=
'⎪⎭⎫ ⎝⎛----+='211112
2113121111231132
x x x x x x y x x x y y
讨论其它情形时可得同样的结果。 ex:
()()
x b
a
x
tgx y x b x a b a y y x b a a x x b b a y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=
指数函数求导'>>>⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ln 0,0,0
二．由参数方程所确定的函数的导数 抛射体的运动轨迹方程：
⎩⎨⎧-==22121gt
t v y t v x x,y 都
是t 的函数，消去t ，得y 与x 之间的函数关系
221
221x v g
x v v y -=
，即为参数方程所确定的显式表示。
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1．def：若参数方程()
()
⎩⎨
⎧==t y t x ψϕ (1)确定y 与x 间的函
数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(1)所确定的函数。
为求导数，有时消去参数很困难，希望能直接由参数方程算出它所确定函数的导数。 2.求导法则
在(1)中，如果()t x ϕ=具有单调连续反函数()x t ϕ=，且此反函数能与[]t y ψ=复合成复合函数，则由(1)所确定的函数可看成是由
()()
x t t y ϕψ==，复合而成的函数
()[]x y ϕψ=，假若()t x ϕ=,[]t y ψ=都可导，且()0≠'t ϕ，由复合函
数求导法则与反函数的导数公式，有()()
t t dt dy dx dt dt dy dx dy dt dx ϕψ''=⋅=⋅=1
(2)此式即为求导公式。也可写成dt dx dt dy
dx
dy =
若()t x ϕ=,[]t y ψ=二阶可导，则有二阶导数公式：
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()()()()()()()
()()()()()()
t t t t t t t t t t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d 32221
ϕϕψϕψϕϕϕψϕψϕψ''''-'''=
'⋅''''-'''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
例1：求椭圆4sin cos π
=⎩⎨
⎧==t t
b y t a x 在处的切线方程和法线方程。
()()
22
4
002
122:0
222:,sin cos ,2,2,,4b a by ax a x b a b y ab ay bx a x a b b
y a b dx dy t a t b dx dy
b a y x t t -=
-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+⎪⎭⎫
⎝⎛--=-
∴-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==
=法线方程切线方程ππ
ex: t
t t
t dx dy t
e y t e x t t
sin cos sin cos sin cos -+=⎪⎩⎪⎨⎧==
例2：求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向。 由于速度的水平分量gt v dt
dy v dt
dx -==21，铅直分量，所以
速度的大小为()
222
12
2
gt v v dt dy dt dx v -+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=
速度的方向即轨道的切线方向。设切线倾角为α，
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