高等数学（二）重点知识与解析
Ⅰ、函数、极限
一、基本初等函数(又称简单函数)：
（1）常值函数：y c = （2）幂函数：a y x =（3）指数函数：x
y a =(a 〉0,1)a ≠且
（4）对数函数：log a y x =(a 〉0,1)a ≠且
（5）三角函数：sin y x =，cos y x =，tan y x =，cot y x =
（6）反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x = 二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。
ln cos y x =是由ln y u =，cos u x =这两个个简单函数复合而成.
3arctan x
y e =是由arctan y u =，v u e =和3v x =这三个简单函数复合而成. 该部分是后面求导的关键！
三、极限的计算
1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将0x 代入到函数表达式中，函数值即是极限值，即0
0lim ()()x x f x f x →=。 注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即lim C C =。
（2）该方法的使用前提是当0x x →的时候，而x →∞时则不能用此方法。
lim 44→-∞=，1lim 33x →--=-，limlg 2lg 2x →∞=，6
lim x π
ππ→=，
2203103011101
x x x x →+-+•-==-++
2tan(1)tan(21)tan1121
x x x →--==-- （非特殊角的三角函数值不用计算出来）
2、未定式极限的运算法
（1）对于00
未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将0
x 代入后函数值即是极限值。
239lim 3x x x →--. (00)
未定式，提取公因式
解：原式=33(3)(3)lim lim(3)63
x x x x x x →→-+=+=-
22121lim 1x x x x →-+-. (00)
未定式，提取公因式 解：原式=()()()211lim 11x x x x →--+=()()11lim 1x x x →-+=002
= （2）对于∞
∞
未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。 23lim
31n n n →∞-+………∞∞
未定式，分子分母同时除以n 解：原式32202lim 13033n n n →∞--===++………无穷大倒数是无穷小
232321lim 25x x x x x →∞---+.    ………∞∞
未定式，分子分母同除以3x  解：原式=233321lim 152x x x
x x x
→∞---+=002=………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2 3、利用等价无穷小的代换求极限
（1）定义：设α和β是同一变化过程中的两个无穷小，如果lim βα=1，称β与α是等价无穷小，记作β～α.
（2）定理：设α、'α、β、'β均为无穷小，又α～'α，β～'β，且'lim
'βα存在 则lim βα='lim '
βα 或 ''lim lim αβαβ•=• （3）常用的等价无穷小代换：当0x →时，sin
x ～x , tan x ～x
0x →时，sin 2x ～2x ，tan(3)x -～3x -
0sin 2lim
5x x x →=02lim 5x x x →=02lim 5x →=25
………sin 2x 用2x 等价代换
0tan 3lim x x x →=03lim x x x →=0lim33x →=………tan3x 用3x 等价代换
Ⅱ、一元函数的微分学
一、导数的表示符号
（1）函数()f x 在点0x 处的导数记作：
'0()f x ，0'
x x y = 或 0x x dy dx =
（2）函数()f x 在区间（a,b ）内的导数记作：
'()f x ，'y  或 dy dx
二、求导公式（必须熟记）
（1）'()0c =  （C 为常数）            （2）'1()x x
ααα-= （3）'()x x e e =（4）'1(ln )x x
= （5）'(sin )cos x x =                    （6）'(cos )sin x x =-
（7）'
(arcsin )x =（8）'21(arctan )1x x
=+
、()3x ’
=23x            2、1'212x -=  3、'
sin 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭=0 4、'0π= 5、()''23212x x x --⎛⎫==- ⎪⎝⎭
6、'1x = 三、导数的四则运算
运算公式（设U ，V 是关于X 的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U 和V 即可，代入后用导数公式求解.）
（1）'''
()u v u v ±=±
（2）'''()u v u v uv •=+    特别地''()Cu Cu =（C 为常数） （3）''
'2
()u u v uv v v -=
43cos 2y x x =+-，求'y .
解：'y =()()''4'3cos 2x x +-=343sin 0x x --=343sin x x -
2()ln f x x x =，求'()f x 和'()f e .
解：'()f x =()()''22ln ln x
x x x +=212ln x x x x ⋅+⋅=2ln x x x ⋅+ 所以'()f e =2ln 23e e e e e e ⋅+=+=  （注意：lne=1,ln1=0）
2()1x f x x
=+，求'()f x . 解：'()f x =()()()()'
'2222111x x x x x +-++=()()222121x x x x +-⋅+=()2
2211x
x -
+
四、复合函数的求导
1、方 法 一： 2sin y x =的导数.
（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.
如2sin y x =由sin y u =和2u x =这两个简单函数复合而成
（2）用导数公式求出每个简单函数的导数. 即dy du =cos u ，du dx
=2x  （3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x 替代回去. ∴dy dy du dx du dx
=•=2x cos u =2x 2cos x  2、方 法 二（直接求导法）： 复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导
. cos(3)y x =-，求'y .
解：'y =()'
(3)cox x -=sin(3)x --·'(3)x -=sin(3)x --·(3)
-=3sin(3)x - ln x y e
指数函数求导
=，求'y .    解：'y =()'ln x e =ln x e ·'(ln )x =1x
ln x e  注意：一个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。
五、高阶导数
1、二阶导数记作：''
y ，''()f x 或22d y dx
我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.
2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导
（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导
5sin y x =，求''y .
解：∵'
y =5cos x ，∴''y =5sin x -
2x
y e =，求0''x y =.
解：∵'y =2x e
()'2x ⋅=22x e ，∴''y =2⋅2x e ()'2x ⋅=42x e  即0''
x y ==4
六、微分的求法：
（1）求出函数()y f x =的导数'()f x .
（2）再乘以dx 即可.即'()dy f x dx =.
2ln y x =，求dy .
解：∵'y =()'2ln x
=()'221x x ⋅=212x x ⋅=2x  ∴dy =2x
dx
4cos y x x =⋅，求dy .
解：∵'y =()()''44cos cos x x x x +=344cos sin x x x x - ∴dy =()
344cos sin x x x x dx -