§2.9　函数的模型及其应用
Ａ组　基础题组
1.(2021浙江重点中学协作体适应性测试,4)已知0<a<1,则a2、2a、log2a的大小关系是(  )
                 
A.a2>2a>log2a        B.2a>a2>log2a
C.log2a>a2>2a        D.2a>log2a>a2
2.(2021福建泉州一中期中,5,5分)给出四个函数,分别满足:①f(x+y)=f(x)+f(y),②g(x+y)=g(x)g(y),③h(xy)=h(x)+h(y),④m(xy)=m(x)m(y).下列为四个函数的图象,对应正确的是(  )
A.①甲,②乙,③丙,④丁    B.①乙,②丙,③甲,④丁
C.①丙,②甲,③乙,④丁    D.①丁,②甲,③乙,④丙
3.(2021湖北,5,5分)小明骑车上学,开头时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后来为了赶时间加快速度行驶.与以上大事吻合得最好的图象是(  )
4.(2021陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(  )
A.5        B.6        C.8        D.10
5.(2022北京,8,5分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(5年高考3年模拟单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次试验的数据.依据上述函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为(  )
A.3.50分钟        B.3.75分钟        C.4.00分钟        D.4.25分钟
6.(2021浙江五校第一次联考)一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底部一个微小的小孔渐渐地漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8min后发觉容器内还有一半的沙子,则再经过    min,容器中的沙子只有开头时的八分之一. 
7.(2022杭州学军中学其次次月考,13,4分)不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m都成
立,则x的取值范围是    　. 
8.(2021湖南师大附中月考)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.8元;当超过4吨时,超过部分按每吨3元收费.已知某个月甲、乙两户共交水费y元,并且该月甲、乙两户的用水量分别为5x、3x吨.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若该月甲、乙两户共交水费26.4元,分别求出该月甲、乙两户的用水量和水费.
9.(2022上海普陀调研测试,21,14分)某中学为了落实“阳光运动一小时”活动,方案在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上,已知∠ACB=60°且|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].
(1)试用x表示S,并求S的取值范围;
(2)若在矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪.已知:矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元,草坪每平方米的造价为(k为正常数)元.设总造价T关于S的函数为T=f(S),试问:如何选取AM的长,才能使总造价T最低?
B组　提升题组
1.(2022湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,其次年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(  )
                 
A.        B.
C.        D.-1
2.(2021北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是(  )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
3.(2021浙江重点中学协作体摸底)一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时,水的体积为V1,则函数V1=f(h)的大致图象可能是图    . 
4.(2021浙江杭州九中期末)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运    年时,其营运的年平均利润最大. 
5.求实数a的范围,使得关于x的方程x2-ax+2=0在[1,3]上有解.
6.(2022杭州学军中学其次次月考,18,14分)已知集合P=,y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q.
(1)若P∩Q≠⌀,求实数a的取值范围;
(2)若方程log2(ax2-2x+2)=2在内有解,求实数a的取值范围.
7.(2021江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型大路,为进一步改善山区的交通现状,方案修建一条连接两条大路和山区边界的直线型大路,记两条相互垂直的大路为l1,l2,山区边界曲线为C,方案修建的大路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.
(1)求a,b的值;
(2)设大路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
①请写出大路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;
②当t为何值时,大路l的长度最短?求出最短长度.
8.(2022超级中学原创猜测卷六文,20,15分)某市为迎接元旦的到来,拟在市观光巡游区建筑一个花坛,已知用钢管焊接而成的花坛围栏如图所示,它的外框是一个等腰梯形PQRS,内部是一段抛物线和一根横梁,抛物线的顶点与梯形上底边的中点均是焊接点O,梯形的腰紧靠在抛物线上,且两腰的中点是梯形的腰、抛物线与横梁的焊接点A,B,抛物线与梯形下底边的两个焊接点为C,D.已知梯形的高是40米,C,D两点间的距离是40米.
(1)求横梁AB的长度;
(2)求制作梯形外框的用料长度.
(注:钢管的粗细等因素忽视不计,≈1.41)
Ａ组　基础题组
1.B　由于当0<a<1时,a2∈(0,1),2a>1,log2a<0,所以2a>a2>log2a,故选B.
2.D　由题图可知丁是正比例函数图象,满足①;甲是指数型函数图象,满足②;乙是对数型函数图象,满足③;丙是幂函数图象,满足④.故选D.
3.C　小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排解A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排解D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排解B.故选C.
4.C　由于函数y=3sin+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.
5.B　由已知得
解得
∴p=-0.2t2+1.5t-2=-+,∴当t==3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.
6.答案　16
解析　当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=a,∴e-8b=,容器中的沙子只有开头时的八分之一,即y=ae-bt=a,e-bt==(e-8b)3=e-24b,则t=24,24-8=16.
7.答案　
解析　构造函数f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则f(m)是关于m的一次函数,要使2x-1>m(x2-1)对任意|m|≤2恒成立,即f(m)<0对任意m∈[-2,2]恒成立,只需解得x∈.
8.解析　(1)当甲的用水量不超过4吨,即5x≤4时,乙的用水量也不超过4吨,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;
当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4且5x>4时,y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8;
当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,y=1.8×8+3(5x-4+3x-4)=24x-9.6.
所以y=
(2)y=f(x)在各段区间上均为单调递增函数,
当x∈时,ymax=f<26.4;