§3.7 解三角形
Ａ组 基础题组
A.肯定是锐角三角形
B.肯定是直角三角形
C.肯定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
2.(2021浙江绍兴模拟,6)在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( )
A. B. C. D.
3.(2022杭州七校期中,6,5分)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cos2B+cosB+cos(C-A)=1,则( )
A.a,b,c成等比数列 B.a,b,c成等差数列
C.a,c,b成等比数列 D.a,c,b成等差数列
A.(1,) B.(,) C.(,2) D.(1,2)
5.(2021北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则= .
6.(2021重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的平分线AD=,则AC= .
7.(2022杭州七校期中,13,4分)设△ABC的三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c,三角形的面积为S,若S=a2-(b-c)2,则= .
8.(2022杭州五校联盟月考,9,6分)在△ABC中,已知a=2,b=x,B=30°.假如x=1,则∠A= ;假如x=,则∠A= .
9.(2022超级中学原创猜测卷五,13,4分)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且满足a=b2-c2,tanB=2tanC,则a= .
10.(2022四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)
11.(2021石家庄一模)如图,有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度,且不能到达对岸),某人想测量两座建筑物尖顶A,C之间的距离,但只有卷尺和测角仪两种工具.若此人在地面上选一条基线EF,用卷尺测得EF的长度为a,并用测角仪测量了一些角度:∠AEF=α,∠AFE=β,∠CEF=θ,∠CFE=φ,∠AEC=γ.5年高考3年模拟请写出计算A,C之间距离的步骤和结果.
12.(2022陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
13.(2022浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2+4sinAsinB=2+.
(1)求角C的大小;
(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.
14.(2022超级中学原创猜测卷二,16,14分)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sin2A=3sinBsinC,ta=b+c(t∈R).
(1)当t=,a=3时,求b,c的值;
(2)当角A为钝角时,求t的取值范围.
15.(2021浙江新高考争辩(海宁高级中学)卷三,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a·cos2+c·cos2=.
(1)求证:a,b,c成等差数列;
(2)若∠B=60°,b=4,求△ABC的面积.
16.(2022湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.
(1)求cos∠CAD的值;
(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.
B组 提升题组
1.钝角三角形的三边长分别为a,a+1,a+2,其中最大内角不超过120°,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.(2021武汉4月调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A,B,C成等差数列,2a,2b,3c成等比数列,则cosAcosC=( )
A.0 B. C. D.
3.(2021昆明三中、玉溪一中统考)已知△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tanC等于( )
A. B. C.- D.-
4.(2022宁波慈溪中学期中文,4,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,A=60°,若三角形有两解,则b的取值范围为( )
A.(0,1) B.
C.(1,2) D.
5.(2022领航高考冲刺卷二,5,5分)在△ABC中,已知B=60°,最大边与最小边的比值为,则△ABC的最大角为( )
A.60° B.75° C.90° D.105°
6.(2022超级中学原创猜测卷三,5,5分)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,且△ABC的面积S△ABC=,则角C的值为( )
A. B. C. D.
7.(2022广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2b,则= .
8.(2022江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是 .
9.(2022课标Ⅰ,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN= m.
10.(2021浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC= .
11.(2022温州高三返校联考,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知△ABC的面积S=[a2-(b-c)2].
(1)求sinA与cosA的值;
(2)设λ=,若tanC=2,求λ的值.
12.(2022新昌中学期中,16,14分)在△ABC中,已知AB=2AC.
(1)若∠A=60°,BC=2,求△ABC的面积;
(2)若AD是∠BAC的平分线,且AD=kAC,求k的取值范围.
13.(2022东阳中学期中,16,14分)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)+m在区间上的最大值为.
(1)求实数m的值;
(2)在△ABC中,三内角A,B,C所对的三边分别为a,b,c,且f=1,a+c=2,求b的取值范围.
14.(2021湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角.
(1)证明:B-A=;
(2)求sinA+sinC的取值范围.
15.(2021浙江名校(衢州二中)沟通卷二,16)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+c=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,求△ABC的内切圆半径R的最大值.
16.(2021浙江模拟训练冲刺卷一,16)已知函数f(x)=sinxcosx+3cos2x-.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且b+c=+1,a=1,若f(A)=,求△ABC的面积.
Ａ组 基础题组
可设a=5x,b=11x,c=13x(x>0).
则cosC==<0,
∴C为钝角.∴△ABC为钝角三角形.
2.B 由余弦定理得AB2+4-2·AB×2×cos60°=7,解得AB=3或AB=-1(舍去),设BC边上的高为x,由三角形面积公式得·BC·x=AB·BC·sin60°,解得x=,故选B.
3.A 由cos2B+cosB+cos(C-A)=1知cos(C-A)-cos(C+A)=1-cos2B=2sin2B,即sinAsinC=sin2B,即ac=b2,故选A.
4.C 由正弦定理得=,∴a=2sinA.
∵C=60°,∴0°<A<120°.
又∵满足条件的△ABC有两个,∴asin60°<<a,即<a<2.故选C.
5.答案 1
解析 在△ABC中,cosA===,由正弦定理可知====1.
6.答案
解析 依题意知∠BDA=∠C+∠BAC,由正弦定理得=,
∴sin=,
∵∠C+∠BAC=180°-∠B=60°,
∴∠C+∠BAC=45°,
∴∠BAC=30°,∠C=30°.从而AC=2·ABcos30°=.
7.答案 4
解析 S=a2-(b-c)2=b2+c2-2bccosA-(b-c)2,所以bcsinA=2bc(1-cosA),因此=4.
8.答案 90°;60°或120°
解析 若x=1,则△ABC为直角三角形,∠A=90°.若x=,则由正弦定理或余弦定理可解得∠A=60°或120°.
9.答案 3
解析 ∵tanB=2tanC,∴sinBcosC=2cosBsinC,由正弦定理和余弦定理得b·=2c·,∴a2=3b2-3c2,又a=b2-c2,∴a2=3a,∴a=3或a=0(舍去).
10.答案 60
解析 不妨设气球A在地面的投影为点D,则AD=46m,于是BD=AD·tan(90°-67°)=46×≈19.5m,DC=AD·tan(90°-30°)=46×≈79.6m,∴BC=DC-BD=79.6-19.5≈60m.
11.解析 第一步:在△AEF中,利用正弦定理,得=,解得AE=;
其次步:在△CEF中,同理可得CE=;
第三步:在△ACE中,利用余弦定理,得
AC=
=.
12.解析 (1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.
由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.
∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
∴sinA+sinC=2sin(A+C).
(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.
由余弦定理得
cosB==≥=,
当且仅当a=c时等号成立.
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