山西省吕梁育星中学2024年高考数学试题3月月考模拟试题
考生须知：
2．请用黑字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数321()(0)3f x ax x a =
+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．2(,5)3
B ．2
(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7 D ．18(
,4)(4,6)7⋃ 2．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（）
A ．a b ab +=
B ．4a b +>
C ．()()22
112a b -+-< D ．228a b +> 3．已知三点A (1,0)，B (0
)，C (2
，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )
A ．53
B
C
．3 D ．43
4．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．8π
D ．13π
5．过双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A
B
C ．2 D
6．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．1-
B ．2
C ．7
D ．8
7．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1
233a b + C ．3455a b + D ．4355
a b +
8．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ）
A ．9
B ．－9
C ．212
D ．214
- 9．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )
5年高考3年模拟A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知数列 {}n a 是公比为
q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ） A ．12
- B ．2- C ．1- 或 12 D ．1 或 12- 11．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
12．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则
V v =（ ） A ．4 B ．8 C ．9 D ．27
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，23PA PB AB ===，2BC =
，且二面角P AB C 的大小为135︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为__________.
14．已知函数()5cos x f x e x x =+，则曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程是_______． 15．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是______，体积是_____.
16．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），若z 1•z 2是纯虚数，则a 的值为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，平面11A DB ⊥平面ABCD ，1AD =，12AA =.过顶点D ，1B 的平面与棱BC ，11A D 分别交于M ，N 两点.
（Ⅰ）求证：1AD DB ⊥；
（Ⅱ）求证：四边形1DMB N 是平行四边形；
（Ⅲ）若1A D CD ⊥，试判断二面角1D MB C --的大小能否为45︒？说明理由.
18．（12分）已知函数()|2|f x x a a =-+.
（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；
（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.
19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12:31x t l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点M 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB +的值. 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为
4cos ρθ=．
（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点()1,0P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B ，求11PA PB
+的值． 21．（12分）如图ABC ∆中，D 为BC 的中点，213AB =，4AC =，3AD =.
（1）求边BC 的长；
（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求BCE ∆的面积.
22．（10分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，侧面11BCC B 是矩形,1,AB A B N =是1B C 的中点,M 是棱1AA 上的点，且1AA CM ⊥.
（1）证明：//MN 平面ABC ；
（2）若1AB A B ⊥，求二面角A CM N --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D
【解题分析】
首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.
【题目详解】
()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22x a
=-．
其单调性及极值情况如下： x 2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 2a - 2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0 ()0,∞+ ()f x ' + 0 _ 0
+ ()f x 极大值
极小值
若存在0111,,022x ⎛
⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 则()21221112a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩
（如图1）或3122a a -<-<-（如图2）．
（图1）
（图2）
于是可得()18,44,67a ⎛⎫∈⋃
⎪⎝⎭， 故选：D.
【题目点拨】
该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.
2、C
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