广西部分重点中学2024届高三高考模拟训练（五）数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面向量a b ，满足21a b a ＝，
＝，与b 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥+－，则实数λ的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．2 D ．3 2．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A
B =（ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞
C ．(],2-∞
D ．(],1-∞
3．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A ．乙的数据分析素养优于甲
B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C ．甲的六大素养整体水平优于乙
D ．甲的六大素养中数据分析最差
4．已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ）
A ．22
B 21
C ．322-
D 31
5．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）
A ．1945年高考3年模拟
B ．114
C ．32
D ．74
6．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（ ）
A ．λ＜﹣16
B ．λ＝﹣16
C ．﹣12＜λ＜0
D ．λ＝﹣12
7．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）
A ．2αβα<≤
B ．23αβα≤≤
C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在
D ．存在某一位置使得3a β>
8．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）
A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关
C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上
D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列
9．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B 等于（ ） A ．{}15x x -<<
B ．{}15x x -≤<
C ．{}26x x -<<
D ．{}
25x x -<< 10．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC
各顶点坐标分别为：
(0,0,0),(0,0,2),,O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭
．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）
A
．B
C
D
．11．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ）
A ．0.2
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.8 12．已知函数2(0x y a
a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n
+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( )
A ．1,2m n ==-
B ．1,2m n =-=
C ．1,2m n ==
D ．1,2m n =-=- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数()sin 2cos 2f x x x =+在[0,]2
m 和[3,]m π上均单调递增，则实数m 的取值范围为________． 14．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____.
15．设函数()f x x x a =-，若对于任意的1x ，2x ∈[2，)+∞，1x ≠2x ，不等式
1212
()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(21)3n n S a +=，若108a ka =，则k =______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AB CD ，90BAD ∠=︒，24AB CD ==，PA CD ⊥，在锐角PAD △中，E 是边PD
上一点，且3AD PD ED ===
（1）求证：//PB 平面ACE ；
（2）当PA 的长为何值时，AC 与平面PCD 所成的角为30？
18．（12分）已知直线l 的参数方程为1322(12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点1
(,0)2
P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值. 19．（12分）已知函数()2
2ln 2
x f x mx x =++，m R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）已知()f x 在1x =处的切线与y 轴垂直，若方程()f x t =有三个实数解1x 、2x 、3x （123x x x <<），求证：132x x +>.
20．（12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC 与1B BC 是全等的等边三角形.
（1）求证：1BC AB ⊥；
（2）若11cos 4
B BA ∠=，求二面角1B B
C A --的余弦值． 21．（12分）已知A 是抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上的一点，以点A 和点B (2,0)为直径两端点的圆C 交直线x ＝1于M ，
N 两点.
（1）若|MN |＝2，求抛物线E 的方程；
（2）若0＜p ＜1，抛物线E 与圆(x ﹣5)2+y 2=9在x 轴上方的交点为P ，Q ，点G 为PQ 的中点，O 为坐标原点，求直线OG 斜率的取值范围.
22．（10分）在三棱锥中，为棱的中点，
(I )证明：
； (II )求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．D
【解题分析】
由已知可得()()20a b a b λ+-=⋅，结合向量数量积的运算律，建立λ方程，求解即可.
【题目详解】 依题意得22113
a b cos π⋅=⨯⨯=- 由()()20a b a b λ+-=⋅，得()222210a b a b λλ-+-⋅=
即390λ-+=，解得3λ=.
故选:D .
【题目点拨】
本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.
2．C
【解题分析】 ∵集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，
∴A B ⋃= (],2-∞
点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.
3．C
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