九师联盟2024届高三教学质量监测10月联考（新高考卷）
数学试题及参考答案
i z
i
-=+13，则=z （）
A .5
B .2
C .3
D .2
2.设集合(){}3ln -==x y x A ，{}1-≤=x x B ，则{}
=≤<-31x x （
）
A .()
B A
C R B .()B A C R C .()
B C A R D .()
B C A R 3.已知()θθcos ,sin P 是角3
π
-
的终边上一点，则=θtan （）
A .3-
B .3
3-C .
3
3D .3
4.已知平面向量b a ，和实数λ，则“b a
λ=”是“b a 与共线”的（）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分又不必要条件
5.扇子是引风用品，夏令营必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早
的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或凌娟做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中
θ=∠AOB ,D C ，分别在OB OA ，上，m BD AC ==，弧AB 的长为l ，则该折扇的扇
面ABDC 的面积为（
）
A .()
2θ-l m B .
()2
m l m θ-C .
()22θ-l m D .
()22m l m θ-6.已知6
.023-⎪
⎭⎫
⎝⎛=a ，41log 3
1=b ，9
.032⎪⎭⎫
⎝⎛=c ，则（
）
A .a
c b >>B .b
a c >>C .c a
b >>D .b
九校联盟
c a >>
7.如图，已知两个单位向量OB OA ，和向量OC ，2=OC .
OA 与OC 的夹角为θ，且5
3
cos =
θ，OB 与OC 的夹角为45°，若()R y x OB y OA x OC ∈+=,，则=+y x （
）
A .3
B .2
C .1
D .
2
28.已知函数()()22
ln 2ln x e
a
x x a x x f +-=有三个零点321,,x x x ，且321x x x <<，则a 的取值范围是（
）
A .⎪⎭⎫
⎝⎛--0,12e e B .⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,12e C .⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,21e D .⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,2e 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()⎪⎭
⎫
⎝
⎛
<
>+=2,0sin πϕωϕωx x f ，21,x x 为()x f 的两个极值点，且21x x -的最小值为
2π，直线3π=x 为()x f 的图象的一条对称轴，将()x f 图象向左平移12
π个单位长度后得到函数()x g 的图象，则（
）
A .4
=ωB .6
πϕ-
=C .()x f 的图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,6π对称
D .()x g 的图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2π对称
10.下列式子中最小值为4的是（
）
A .x x 22sin 4sin +
B .x x -+222
C .
x x 22cos 1
sin 1+D .(
)(
)
x
x x x +++-+1ln
1ln
42211.已知函数()x f 的定义域为R ，其导数为()x f '，若R x ∈∀，()()04=--+x f x f ，且()1+x f 为奇函数，()11-='f ，则（
）
A .()01=f
B .4为()x f 的一个周期
C .()1
2='f D .()1
2023='f
12.在ABC ∆中，内角C B A ,，的对边分别为c b a ,,，P 为ABC ∆内一点，则下列命题正确的是（
）
A .若032
=++PC PB P A ，则P AC ∆的面积与P AB ∆的面积之比是3:2B .若4
423π
===A b a ，，，则满足条件的三角形有两个C
BC AC BC AB =，则ABC ∆为等腰三角形
D .若点P 是ABC ∆的重心，且03
3
22 =⋅+⋅+⋅PC c PB b P A a ，则ABC ∆为直角三角形
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()x e
x x f 1
-=
，则曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程为.
14.=︒+︒20sin 420tan .
15.函数x
x x
x y cos sin 2cos sin --=
的值域为
.
16.函数()()
()[]()6,03sin 62
∈++--=x a x x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，若
8=+m M ，则=
a .
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知()
x x a sin ,cos 22
= ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x b cos 3,21 ，()b a x f ⋅=.
（1）求函数()x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC ∆中，π12
7
=
+B A ，()1=A f ，32=BC ，求边AC 的长.18.（12分）已知函数()()
x m x f x
-+=1log 3（0>m ，且1≠m ）是偶函数.
（1）求m 的值；
（2）若关于x 的不等式()()()
033332
1≤+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-⋅-a x
x x f 在R 上有解，求实数a 的最
大整数值.
19.（12分）已知αsin 是方程06752
=--x x 的根.
（1）求()()
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-⋅⎪⎭⎫
⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπαπαπαππα2cos 2cos tan 2cos 23cos 23sin 的值；
（2）若α是第四象限角，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
201356sin πβπβ，求⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-3sin παβ的值.20.（12分）南京玄武湖称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉.夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有
了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台P 在半圆形的中轴线OC 上（图中OC 与直径AB 垂直，P 与C O ，不重合），通过栈道把AB PC PB P A ,,，连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感.已知m AB 200=，θ=∠P AB ，栈道总长度为函数()θf .（1）求()θf ；
（2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P 的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值.
21.（12分）在锐角ABC ∆中，角C B A ,，的对边分别为c b a ,,，S 为ABC ∆的面积，且
()2
22c b S a -+=.
（1）求A tan 的值；
（2）若8=a ，证明：5816≤+<c b .
22.（12分）已知函数()x x e x f x
cos sin --=，()x f '为其导数.
（1）求()x f 在[)∞+-，π上极值点的个数；
（2）若()()R a x ax x f ∈-+≥'cos 22对[)+∞-∈∀,πx 恒成立，求a
的值.
参考答案
一、选择题1.A
解析：由
i z i -=+13，得()()()()
i i i i i i i z 21111313+=+-++=-+=，∴52122=+=z .2.B 解析：由题意得{}
3>=x x A ，∴φ=B A ，则()R B A C R = ，故A 错误；
{}
31>-≤=x x x B A 或 ，则()=B A C R {}31≤<-x x ，故B 正确；
又{}1->=x x B C R ，∴(){}
3>=x x B C A R ，故C 错误；
(){}1->=x x B C A R ，故D 错误.
3.B
解析：21
3cos sin =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=πθ，233sin cos -
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πθ，∴33cos sin tan -==θθθ.4.A 解析：若b a λ=，由共线向量定理知b a 与共线，知“b a
λ=”是“b a 与共线”的充分条件；若b a 与共线，如()()0,02,1==b a ，，则b a λ=不成立，故“b a
λ=”不是“b a 与共线”的必要条件.综上，“b a
λ=”是“b a 与共线”的充分不必要条件.
5.D
解析：由弧长公式可知，OA l ⋅=θ，∴θ
l
OA =
，则m l
OC -=
θ
，∴该折扇的扇面
的面积为：=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅2
2121m l l l θθθ()22m l m θ-.
6.C 解析：9
.06
.06
.
00
323223231⎪⎭
⎫
⎝⎛>⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛=-，即c a >>1，又14log 4
1
log 33
1
>=，∴c a b >>.7.D 解析：由[]πθθ，，053cos ∈=，得54531sin 2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=θ，
由题意得245cos 21=
︒⨯=⋅OC OB ，()5
2
45cos 21-
=︒+⨯=⋅θOC OA ，5
3=
⋅OB OA ，在OB y OA x OC +=两边分别点乘OB OA ,，得
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