2021届河南省九师联盟高三数学理1月联考试题
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题．．．．区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4.本试卷主要命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z ＝
1i 3i
++(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|－2<x<2}，B ＝{y|y ＝32x －1}，则A ∩(∁U B)＝ A.[－1，2) B.(－2，－1] C.(－1，2) D.[－2，1)
3.“θ＝2kπ＋
4
π
，k ∈Z ”是“tan θ＝1”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是 A.1087 B.937 C.387 D.327
九校联盟5.若单位向量a ，b 满足(a －2b)⊥a ，则a 与b 的夹角为 A.6
π
B.
3
π
C.
2
π
D.π
6.摩索拉斯陵墓位于哈利卡纳素斯，在土耳其(TURKEY)的西南方，陵墓由下至上分别是墩座墙、柱子构成的拱廊、四棱锥金字塔以及由四匹马拉着的一架古代战车的雕像，总高度45米，其中墩座墙和柱子围成长、宽、高分别是40米、30米、32米的长方体，长方体的上底面与四棱锥的底面重合，顶点在底面的
射影是长方形对角线交点，最顶部的马车雕像高6米，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为(≈25.962)
A.2.77
B.2.43
C.1.73
D.1.35 7.若a ＝log 23·log 35，b
＝，c ＝20.99，则
A.a<c<b
B.a<b<c
C.c<a<b
D.c<b<a 8.函数f(x)＝
x
x e 1e 1
-
+·sinx 在区间[－π，π]上的图象大致为
9.在面积为S 的△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2＝3＋4S tanA
，则a ＝
A.1
C.2
D.3 10.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<4，|φ|<2
π
)
，f(
12π
)＝f(
712
π)＝0，则f(x)＝
A.sin(2x －
6
π
) B.sin(3x －
4
π
)
C.sin(3x ＋4
π) D.sin(2x ＋3
π
)
11.点F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，横坐标为m(m>0)的点P 为抛物线C 上一点，过点P 且与抛物线C 相切的直线l 与y 轴相交于点Q ，则tan ∠FPQ ＝
B.
2
12.已知函数f(x)＝xlnx ，若对任意x 1>x 2>0，2
λ
(x 12－x 22)>f(x 1)－f(x 2)恒成立，则实数λ的取值范围为
A.[1，e]
B.(－∞，1]
C.[e ，＋∞)
D.[1，＋∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知实数x ，y 满足约束条件x y 10x y 105x y 70--≤⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
，则z ＝－x －3y 的最小值为 。
14.已知(2－x)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝ 。 15.已知双曲线C ：
222
2
1x y a
b
-
=(a>0，b>0)的右焦点为F ，A 为双曲线C 的右顶点，过点F 作x 轴的垂线，
与双曲线C 交于P ，若直线AP 的斜率是双曲线C
C 的离心率为 。
16.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且∠APB ＝60°，当△PAB 的面积最大时，四棱锥P －ABCD 的高为 ，四棱锥P －ABCD 外接球的表面积
为 。(本小题第一空2分，第二空3分)
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。 17.(本小题满分12分)
已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝n n a a 1
+。
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝
2
n
44a -，求数列{b n }的前n 项和S n 。
18.(本小题满分12分)
如图1中，多边形ABCDE 为平面图形，其中AB ＝AE
BE ＝BC ＝2，CD ＝4，BE//CD ，BC ⊥CD ，将△ABE 沿BE 边折起，得到如图2所示四棱锥P －BCDE ，其中点P 与点A 重合。
(1)当PD
时，求证：DE ⊥平面PCE ；
(2)当二面角P －BE －C 为135°时，求平面PBE 与平面PCD 所成二面角的正弦值。 19.(本小题满分12分)
某校为了调研学情，在期末考试后，从全校高一学生中随机选取了20名男学生和20名女学生，调查分析学生的物理成绩。为易于统计分析，将20名男学生和20名女学生的物理成绩，分成如下四组：[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并分别绘制了如下图所示的频率分布直方图：
规定：物理成绩不低于80分的为优秀，否则为不优秀。
(1)根据这次抽查的数据，填写下列的2×2列联表；
(2)根据(1)中的列联表，试问能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关？ (3)用样本估计总体，将频率视为概率。在全校高一学生中随机抽取8名男生和8名女生，记“8名男生中恰有n(1<n<8)名物理成绩优秀”的概率为P 1，“8名女生中恰有n(1<n<8)名物理成绩优秀”的概率为P 2，试比较P 1与P 2的大小，并说明理由。 附：临界值参考表与参考公式
(2
2
()
()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d)
20.(本小题满分12分) 已知椭圆C ：
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于x 轴的直线与C 交于M ，
N 两点，且M 的坐标为(1，32
)。
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过F 2作与直线MN 不重合的直线l 与C 相交于P ，Q 两点，若直线PM 和直线QN 相交于点T ，求证：点T 在定直线上。 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝x －
1x
－2alnx(a ∈R)。
(1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若lnx 1－lnx 2＝
1
2
11x x +，求证：x 1>x 2＋2。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1x t 2y t
2
⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为x 1cos y sin αα=+⎧⎨=⎩(α
为参数)。以原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系。
(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；
(2)已知A是曲线C上一点，B是直线l上位于极轴所在直线上方的一点，若|OB|＝2，求△AOB面积的最大值。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1。
(1)求证：a2＋b2＋c2≥1
3
；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，求max{a＋b，b＋c，c＋a}的最小值。
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