2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一符合题目要求，）1．已知集合M＝{1，2，3，5}，N＝{2，3，4}，则M∩N＝（）
A．{1，5}B．{1，2}C．{2，3}D．{1，2，3，4}
2．设a＝20.7，b=log61
，c＝2﹣0.3，则（）
4
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
3．设x∈R，则“x2﹣2x＜0”是“|x﹣1|＜2”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图，一个水平放置平面图形的直观图A'B'C'D'是边长为1的菱形，且O'D'＝1，则原平面图形的面积为
（）
A．2B．1C．2√2D．√2
5．下列命题中正确的是（）
A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B．平面α内有不共线的三个点A，B，C到平面β的距离相等，则α∥β
C．b∥α，α∥β，则b∥β
D．a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α
九校联盟6．圣•索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向到一座建筑物AB，高为10(√6−√2)m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则估算索菲亚教堂的高度为（）
A ．20m
B ．20√3m
C ．20√6m
D ．10√3m
7．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P ，Q ，R 分别是棱A 1D 1，C 1D 1，BC 中点，则过点P ，Q ，R 三点的截面面积是（  ）
A ．√32
B ．√3
C ．2√3
D ．3√3
8．已知a 2﹣2ab ﹣3b 2＝1，且﹣1≤log 2（a +b ）≤1，则a ﹣b 的取值范围是（  ）
A ．[−1，53]
B ．[1，54]
C ．（﹣∞，1]
D ．[−1，74) 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．下列命题为真命题的是（  ）
A ．复数2﹣2i 的虚部为﹣2i
B ．若i 为虚数单位，则i 2023＝﹣i
C ．复数﹣2﹣i 在复平面内对应的点在第三象限
D ．复数5−2+i 的共轭复数为﹣2﹣i
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的是（  ）
A ．若A ＞
B ，则cos A ＜cos B
B ．若A ＝30°，b ＝5，a ＝2，则△AB
C 有两解
C ．若cos A cos B cos C ＞0，则△ABC 为锐角三角形
D ．若a ﹣c •cos B ＝a •cos C ，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形
11．已知向量a →=(−3，2)，b →=(2，1)，c →=（λ，﹣1），λ∈R ，μ∈R ，则（  ）
A ．若λ＝1，则a →+2b →在c →方向上的投影向量为−32c →
B ．与b →共线的单位向量为 (
2√55，√55)  C ．若a →=tb →+c →，则λ+t ＝﹣4
D ．|a →+μb →|的最小值为7√55
12．如图，AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的动点，SO ＝OC ＝2，则下列结论
正确的是（  ）
A ．圆锥SO 的侧面积为8√2π
B ．三棱锥S ﹣AB
C 体积的最大值为83
C ．∠SAB 的取值范围是（π4，π3）
D ．若AB ＝BC ，
E 为线段AB 上的动点，则SE +CE 的最小值为2（√3+1）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．复数z （2+i ）＝2﹣i ，i 为虚数单位，则|z |＝      ．
14．如图，在单位圆中，P （1，0），M 、N 分别在单位圆的第一、二象限内运动，若S △PON =2√37，△MON 为等边三角形，则sin ∠POM ＝      ．
15．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE →=λBC →，DF →=μDC →．若λ+μ=23，则AE →⋅AF →的最小值为      ．
16．已知圆锥底面圆的直径为2，高为√3，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为      ．
三.解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知|a →|=4，|b →|=8，a →与b →的夹角是120°．
（1）计算：|a →+b →|；
（2）当k 为何值时，（a →+2b →）⊥（k a →+b →
）．
18．（10分）已知向量a →=（2cos x ，1），b →=（﹣cos （x +π3），12），x ∈[0，π2]． （1）若a →∥b →，求x 的值；
（2）记f （x ）=a →⋅b →，若对于任意x 1，x 2∈[0，π2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|≤λ恒成立，求实数λ的最小值． 19．（12分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径：一种是从A 处沿直线步行到C 处；另一种是先从A 处沿索道乘缆车到B 处，然后从B 处沿直线步行到C 处，现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m •min ﹣
1，在甲出发2min  后，乙从A 处乘缆车到B 处，再从B 处匀速步行到C 处，假设缆车的速度为130m •min ﹣
1，山路AC 长为1260m ，经测量cosA =1213，cosC =35
． （1）从A 处到B 处，乙乘坐缆车的时间是多少min ？
（2）乙出发多长时间后，乙在缆车上与甲的距离最短？
20．（12分）如图，斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．
（1）当A 1D 1
D 1C 1=1时，求证BC 1∥平面AB 1D 1；
（2）若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC 的值，并说明理由．
21．（12分）在①a +acosC =√3csinA ，②（a +b +c ）（a +b ﹣c ）＝3ab ，③（a ﹣b ）sin （B +C ）+b sin B ＝c sin C ．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，_____．
（1）求角C 的值；
（2）若角C 的平分线交AB 于点D ，且CD =2√3，求2a +b 的最小值．
22．（14分）已知f(x)=|x −a|+a x |x −2|(a ≥2)．
（1）当a ＝2时，解不等式f （x ）≥0；
（2）若g （x ）＝x •f （x ），且函数y ＝g （x ）的图像与直线y ＝3有3个不同的交点，求实数a 的取值范
围；
（3）在（2）的条件下，假设3个交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，若x 2x 3x 1＞t 恒成立，
求实数t 的取值范围．