2022年中考数学改革重点题型专练（重庆专用）
专练六、设辅助元（不定方程）
1．某车间有A，B，C型的生产线共12条，A，B，C型生产线每条生产线每小时的产量分别为4m，2m，m件，m为正整数．该车间准备增加3种类型的生产线共7条，其中B型生产线增加1条，受到限电限产的影响，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每小时的产量将减少4件．统计发现，增加生产线后，该车间每小时的总产量恰比增加生产线前减少10件，且A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67．请问增加生产线后，该车间所有生产线每小时的总产量为 　134　件．
【解答】解：设增加生产线前A，B，C型生产线各有x、y、z条，增加生产线后A型增加a条，则C型增加（7﹣1﹣a）即（6﹣a）条，
由题意可得：
4mx+2my+mz＝（x+a）（4m﹣4）+（y+1）（2m﹣4）+（z+6﹣a）（m﹣4）+10，
整理得：
3ma+8m＝18+4（x+y+z），
由题意得：x+y+z＝12，
代入上式整理可得：
m＝，
又因为m是正整数，
所以3a+8的值可能为1、2、3、6、11、22、33，
结合0≤a≤6且a为正数，
可得3a+8＝11，即a＝1，
所以m＝6，
所以增加生产线后A型增加1条生产线，B型增加1条生产线，C型增加5条生产线，
且增加生产线后A，B，C型生产线的每小时产量分别为（4m﹣4）（件）、（2m﹣4）（件）、（m﹣4）（件），
即增加生产线后A，B，C型生产线的每小时产量分别为20（件）、8（件）、2（件），
再由A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67，
可得＝，
化简分式方程得：1340x+1340＝600x+600+240y+240+60z+300，
移项、合并同类项得：74x+20＝24y+6z，
而由x+y+z＝12得：x＝12﹣y﹣z，
代入上式得：74（12﹣y﹣z）+20＝24y+6z，
整理得：z＝，
因为x、y、z均为非负整数，
所以454﹣49y一定能被整除，
所以454﹣49y的个位数字一定是0，
即49y的个位数字一定是4，
所以y＝6（条），
那么z＝4（条），
随即可得x＝2（条），
再次检验当x、y、z分别为2、6、4时，以上分式均成立．
最后计算增加生产线后该车间生产线每小时总产量为：
20（2+1）+8（6+1）+2（4+5）＝134（件）．
故答案为：134．
2．随着气温降低，吃羊肉的重庆人越来越多．于是王老板预定了一批羊排、羊腿、精品羊肉．第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良宣传力度大，小区邻居的预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批羊排、羊腿、精品羊肉，其中第二批羊腿的数量占第二批总数量的，此时两批羊腿总数量达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的，而羊排和精品羊肉的总数量之比为8：5．若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，羊排的售价为每斤64元，销售中，王老板为回馈顾客，将两批羊排总量的送邻居免费品尝，其余羊排、羊腿、精品羊肉全部卖完，总利润率为16%，且羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的．则精品羊肉的单价最低为 　33.5　元．
【解答】解：设第一批精肉的数量为x斤，则羊排数量为2x斤，羊腿数量为3x斤，设第二批总重量为y斤，羊排重量为a斤，则第二批羊腿重量为y斤，
根据题意，得3x+y＝（6x+y），
解得y＝12x，
∵羊排和精品羊肉的总数量之比为8：5，
∴（2x+a）：（x+12x﹣2x﹣a）＝8：5，
解得a＝6x，
∴精肉重量为4x斤，
∴总成本为[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]元，
设羊排价格为m元，精肉价格为n元，
则总利润为[14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x）]元，
根据题意，得：
[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]×16%＝14（2迷你小盲盒怎么做x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x），
解得m+n＝86，
∵羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的，
∴m≤（64+n），
解得n≥33.5，
∴n的最小值为33.5．
故答案为：33.5．
3．某精品手工陶器作坊生产A、B两种包装的茶具，A种包装的茶具一个茶壶配6个茶杯，B种包装的茶具一个茶壶配4个茶杯．每套A种包装的茶具的利润为150元，每套B种包装的茶
具的利润为130元．所有工人分为甲、乙、丙三个小组，有两个生产方案：方案一：甲、乙两组负责制作茶壶，丙组负责制作茶杯，那么一小时所制作的茶壶和茶杯恰好可以组成x套A种包装的茶具和若干套B种包装的茶具；方案二：甲组负责制作茶壶，乙、丙两组负责制作茶杯，那么一小时所制作的茶壶和茶杯恰好可以组成（x+3）套A种包装的茶具和若干套B种包装的茶具．已知一名工人每小时可以制作m个茶壶或n个茶杯（m、n均为正整数），那么这两种方案中总利润较高的一种每小时的总利润比另一种每小时的总利润多 　70　元．
【解答】解：设甲、乙、丙三个小组的人数分别为a，b，c人．
利用1个茶壶配6个茶杯配套，可得：
，
②﹣①得：
18﹣4mb﹣12＝nb，
即（4m+n）b＝6，
因为m，n均为正整数，
所以4m+n＝6，则m＝1，n＝2，
∴b＝1．
利润为：
|150x+130（ma+mb﹣x）﹣150（x+3）﹣130[ma﹣（x+3）]|
＝|130mb﹣450+390|
＝|130mb﹣60|
＝70（元），
故答案为：70．
4．重庆市某服装厂配套生产一批校服，有领带、衬衫、T恤三样．3月份，该厂家生产的领带、衬衫、T恤的数量比是4：5：6．进入4月份，春暖花开，气温上升，该厂家立刻又生产了一批这三样配套校服，其中衬衫增加的数量占总增加数量的，此时衬衫的总数量将达到三种服装总数量的，领带与T恤的数量比是2：6．已知领带、衬衫、T恤这三样的成本价格分别是15元，60元，45元，厂家决定领带有作为促销礼物赠送，领带剩余部分按成本价格卖出，其余产品全部售出，最后三种服装的总利润率是50%，其中T恤的利润率为，则衬衫