晶体学导论
题目：
Stereographic projection和Wulffnet原理及其应用专业：材料工程
学号：
姓名：
2013年11月20日
设想将晶体安置在以单位长度为半径的的参考球的球心，把晶体上各种平面和直线的要素，一一投影到球面上。
投影球要素及名称如下：
（1）投影中心：即球心，用O表示
（2）赤道平面：过投影球中心的水平面，也是极射赤道平面投影的投影面。赤道平面在投影球上只有一个。
（3）赤道：赤道平面与投影球面的交线。赤道为极射赤道平面面投影的基圆。
（4）投影轴：过球心且垂直于赤道平面的直线。上端与投影球的交点为北极N，下端与投影球的交点为南极S。
（5）子午面：包含投影轴的直立平面。投影球上的子午面有无数个，与球面的交线为子午线。
晶体外型上即构造中的平面要素有晶面、对称面、面网等；直线要素有晶棱、行列、晶轴、对称轴等。直线、晶面、平面的球面投影方法是不同的，具体介绍如下。
1.直线的球面投影
设想使晶体中心和投影球的球心重合，将晶体上任意一直线平行移到投影球中心，然后向两端延伸，使之与球面相交，交点为直线的球面投影点，称为直线在球面上的迹点。任意一条直线在球面上都有两个迹点。可以看出，所有直线都必须平移到投影球中心，然后才能进行投影。因此所有方向相同的直线，在球面上的投影点的方位都相同。直线的球面投影点只能反映直线的方向，而不能反映直线的具体位置。
2.晶面的球面投影
1）投影方法
设想将晶体中心与投影球中心重合，过中心作某晶面的法线，并延伸使之与球面相交，交点就是该晶面的球面投影点，称为该晶面的极点。任意一晶面在球面上的投影均为一个点。晶面的球面投影点只能反映晶面的空间位置，与晶体实际形态和大小无关。
2)球面上投影点的坐标(极距角和方位角)
地球上任意一点的位置都可以用经度和纬度来表示，如果像地球上的经纬线
那样，在投影球面上画上坐标网线的话，那么投影点在球上的位置，也可以用该点的极距角和方位角这两个球面坐标来表示。
在球面坐标网中，与纬度相当的是极距角ρ，与经度相当的是方位角φ。
（1）极距角（ρ）：投影轴与晶面法线或直线间的夹角，也就是北极N与球面上投影点之间的弧度，故称为极距角。极距角都是从北极N点开始度量，从投影球N极到S极共分为180°。
（2）方位角（φ）：包含晶面法线或直线要素的子午面与投影球零子午面之间的夹角。也就是球面上投影点所在的子午线与零子午线之间的水平弧度，故称为方位角。方位角都从零子午线（φ=0°，一般在投影球最右侧）开始顺时针方向计角的，投影球一周的方位角共分为360°。
显然，有了球面坐标网以后，只要知道投影点的球面坐标值，即可确定投影点在球面上的位置。两晶面之间的面角，可以直接用投影球面上两极点之间所夹的弧度测量。经球面投影以后，晶面的大小、形态的影响被完全消除，面角关系则不变，而且被突出显示出来。
3.平面的球面投影
除晶面外的平面（如对称面），球面投影的方法与晶面不同。
投影时设想将晶体中心与投影球中心重合，将平面扩展后与投影球相交，平面与投影球的交线就是该平面的球面投影。晶体上任一平面的球面投影均为圆。通过投影中心的平面。其球面投影是一个与投影球等径同心的圆，称为大圆；不通过投影中心的平面，其球面投影均小于大圆，称为小圆。
球面投影可以真实地表示晶体上各种要素的空间几何关系。然而这只是一种空间关系，在实际研究工作中难以应用，只有将它们投影到平面上，成为平面的投影图形，才有实用价值。
二、极射赤道平面投影
网线原理晶体的平面投影都是以球面投影为基础的。也就是说在对晶体进行投影时，先进行球面投影，再进行平面投影，极射赤道平面投影也是如此。极射赤道平面投影以投影球的赤道平面为投影面，以南极或北极为视点，所以称极射赤道平面投影。投影面与投影球面的交线（投影球赤道）成为基圆。
1.晶面的极射赤道平面投影
（1）投影方法
任一晶面在球面上的投影是一个点。晶面的极射赤道平面投影就是把晶面在球面上的投影点与南极（或北极）连线，连线交赤道于一点，该点就是晶面的极射赤道平面投影点。
（2）极射赤道平面投影点的坐标
极射赤道平面投影点在投影平面上的坐标也是用极距角和方位角表示的。
（3）晶面的极射赤道平面投影点在投影平面（基圆）上的位置
水平晶面的极射赤道平面投影点落在基圆中心；直立晶面的极射赤道平面投影点落在基圆上；倾斜晶面的极射赤道平面投影点落在基圆内，且倾斜角度越大投影点越接近于基圆。
（4）晶面的极射赤道平面投影点的表示方法
晶面的球面投影点在北半球，以南极为视点进行投影，投影点用“●”来表示；晶面的球面投影点在南半球，以北极为视点进行投影，投影点用“○”来表示。
2.平面的极射赤道平面投影
晶体上平面的球面投影均为圆，极射赤道平面投影仍以S极(或N极)为视点，将球面上的圆形迹线与S极(或N极)连线，连线与投影平面的交线就是平面的极射赤道平面投影。
（1）通过投影中心的平面，其球面投影是一个与投影球等径同心的大圆，极射赤道平面投影有三种情况:
①水平大圆的极射赤道平面投影就是基圆；
②直立大圆的极射赤道平面投影为基圆直径；
③倾斜大圆的极射赤道平面投影为以基圆直径为弦的大圆弧。
除水平大圆外，投影球上所有大圆都被投影平面分为上下两部分，作图时一般以南极为视点，只对上半个大圆进行极射赤道平面投影。
（2）不通过投影中心的平面，球面投影都是小圆，其极射赤道平面投影也有三种情况：
①与投影平面平行的小圆，极射赤道平面投影仍为小圆，且与基圆同心。离投影平面越近，小圆越大；越远，小圆越小。
②与投影平面垂直的直立小圆，极射赤道平面投影为一小圆弧，小圆弧的弦是小圆与基圆两个交点的连线。
③与投影面斜交的倾斜小圆，极射赤道平面投影仍为小圆，但圆心与基圆中心不重合。
综上所述，归纳如下:
①投影球面上圆形迹线的极射赤道平面投影可以是大圆或小圆、大圆弧或小圆弧，也可以是直线。
②极射赤道平面投影面上两点间的角度等于球面上相应两点间的角度。
③极射赤道平面投影面上两大圆弧之间的夹角等于球面上两大圆之间的夹
角。
可见，极射赤道平面投影保留了球面上的各种角度关系，这给作图和研究晶体的各种集合规律带来极大方便。
三、吴氏网
上面我们从原理上叙述了晶体进行极射赤道平面投影的全过程，但是在实际工作中，并不是先做球面投影，然后再转换成极射赤道平面投影的。而是在球面上的坐标网线也进行极射赤道平面投影，得到一张平面的坐标网。利用平面坐标网，根据每一个晶面的球面坐标值，可以直接在坐标网上标定各个投影点的位置，这种利用极射赤道平面投影原理绘制的坐标网就是吴氏网。
一、吴氏网的构成
（1）网面：相当于极射赤道平面投影面。
（2）基圆：极射赤道平面投影面与投影球面相交的水平大圆。
（3）目测点（投影球的南极或北极）：位于网面中心。
（4）直径：两个垂直投影面且互相垂直的大圆投影。
（5）大圆弧：包含投影球的同一直径，倾斜角度各不相同的一组倾斜大圆投影。
（6）小圆弧：与投影面垂直且相互垂平行的一组直立小圆的投影。
二、吴氏网应用
标准的吴氏网，其基圆直径为20cm；网线的分度为每格2°。但是在两极附近，经线的间隔为10°。作图时的精度一般要求达到0.5 °；没有落在网线上的点，其网线间的分度可以用插入法估计确定。
吴氏网的用途很广。在结晶学中，吴氏网可作为球面坐标的量角规。在基圆上可以度量方位角φ；直径上的刻度可以度量极距角ρ；大圆弧上的刻度可以度量两晶面或两平面之间的夹角；可根据投影图进行图解计算晶体常数、确定晶面符号等。此外，吴氏网在晶体光学、岩石学、航空航天学、航海学、天文测量学、晶体X射学和电子显徽学等方面均有广泛的应用。
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