边形与圆
1. 判断一个多边形是不是正多边形,除根据定义来判断外,还可以根据的定理来判定.即依次连结圆的等分点,所得的多边形是正多边形.
2. 正多边形和圆的关系:只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
3. 正多边形的有关概念:
4. 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径
做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.正n边
形的每个中心都等于.中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
5. 在作一个圆的内接正多边形时,要依次连接各分点.
6. 画正多边形:
第一种方法:我们知道圆是轴对称图形,它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,由此可以如
图简捷地将一个圆2等分、4等分、8等分.
第二种方法:由于在同圆或等圆种,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.因此用等分圆心角的方
法等分圆周来画正多边形.
等分圆周有两种方法:(1)由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作相等的圆心角可以等分圆.
(2)先用量角器画一个等于的圆心角,这个角所对的弧就是圆的,然后在圆上依次截取这条弧
的等弧,就得到圆的n等分点,依次连接各等分点即得此圆的内接正n边形.
7. 正三角形中,边心距:半径:高=1:2:3;正方形中,正方形的对角线等于其半径的2倍,边心距
等于其边长的一半;正六边形中,正六边形边长等于其半径.
类型1. 正多边形和圆有关的概念及性质
例1. 下列结论错误的是(      )
A.  等边三角形是正三角形                  B. 正六边形既是轴对称图形,又是中心对称图形
C.  正七边形是轴对称图形,它有7条对称轴  D. 正三角形是中心对称图形
例2. 设正n边形的一个中心角为,一个角为.
(1)当n为何值时,?(2)当n为何值时,? (3)当n为何值时,?
例3. 如图,圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,求证:?APB为等腰三角形.
类型2. 正多边形有关的计算
例1. 正三角形的外接圆半径是4cm,以正三角形的一边为边作正方形,则此正方形的外接圆半径长为
(  )
A.            B.          C.            D.
例2. 一个圆内接四边形和外切正四边形的面积的比是(    )
A.          B.            C.            D.
例3. 已知:如图,正六边形ABCDEF的边长为,求它的外接圆的半径R,对边距离DF的长及这个正六边形的面积S.
【拓展提升】
例1. 已知:⊙O的半径为R,求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形
的边长比和面积.
例2.已知:⊙O的半径R,其内接正n边形的边长为.求同圆内接正2n边形的边长.
例3. 如图,M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、···· 、正n边形ABCDE···的边AB、BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON.
(i)求图(1)中∠MON的度数;
(ii) 图(2)中∠MON的度数是      ,图(3)中∠MON的度数是      .
(iii)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
类型3. 证明圆内接多边形是正多边形
例1. 如图,已知?ABC是⊙O的内接等腰三角形,顶角∠A=360,弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB
求证:五边形AEBCD是正五边形.
例2. 已知,如图,?OAB为正三角形,以O为圆心,OA为半径作⊙O,直径FC∥AB,AO、BO的
延长线⊙O于D、E.求证:六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形.
类型4. 画正多边形
例1. 如图:已知点A、B、C、D、E是⊙O的五等分点,画出⊙O的内接和外切正五边形.
例2. 已知⊙O和⊙O上的一点A,如图所示:
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;
(2)在(1)题所作的图中,如果点E在    上,试证明EB是⊙O内接正十二边形的一边.
【拓展提升】
例1. 某公园有一个边长为4m的正三角形花坛,三角形的顶点A、B、C上各有一颗古树.现决定把原来
的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛,要求三颗古树不能移动,且三颗古树位于圆周上或平行四边
形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限.
(1)按圆形设计,利用图①画出你所设计的圆形花坛示意图;
(2)按平行四边形设计,利用图②画出你所设计的平行四边形花坛示意图;
(3)若想新建的花坛面积较大,选择以上哪一种方案合适?请说明理由.
练习:
1.下列两个命题,(1)正多边形既有内切圆又有外切圆;(2)既有内切圆又有外切圆的多边形是正
 多边形,它们的真假性分别是(    )
A.全是真命题  B.全是假命题  C.(1)是真命题(2)是假命题  D.(1)是假命题,(2)是真命题
2. 正多边形的中心角与内角的关系是(    )
A. 互余        B. 互补        C. 相等            D. 不确定
3. 如果一个正多边形的每个外角都等于360,则这个多边形的中心角为(    )
A. 360        B. 180        C. 540            D. 720
4. 半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为(    )
A.    B.    C.      D.
5. 正八边形的一个内角等于          ,它的中心角等于        .
6. 正六边形的不边长、半径R,边心距r的比=        .
7.正十二边形至少绕中心旋转        度,才能与原来正十二边
形重合.
8. 已知七边形ABCDEFG是⊙O的内接正七边形,连接AC、AD,并延长AD到P,使DP=CD,
多边形连接CP.求证:CP=AC.
9.已知:如图,⊙O的半径为R,试求⊙O的内接正六边形ABCDEF各点的坐标.
10. 已知:如图,⊙O的半径为R,求⊙O的内接正方形、⊙O的外切正方形的边长比和
面积.
11. 如图:已知点A、B、C、D、E是⊙O的五等分点,画出⊙O的内接和外切正五边形.
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