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2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(文史类)
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上大题无效。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后,将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
注意事项: 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B =I ( ) (A )∅ (B ){2} (C ){2,2}- (D ){2,1,2,3}-
2、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( ) (A )棱柱 (B )棱台 (C )圆柱 (D )圆台
3、如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )
(A )A (B )B (C )C (D )D
四川高考是全国几卷4、设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集。若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则( ) (A ):,2p x A x B ⌝∃∈∈ (B ):,2p x A x B ⌝∃∉∈ (C ):,2p x A x B ⌝∃∈∉ (D ):,2p x A x B ⌝∀∉∉
5、抛物线2
8y x =的焦点到直线30x y -=的距离是( )
y
x
D
B
A O
C
(A )
23 (B )2 (C )3 (D )1 6、函数()2sin()(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<
的部分图象如图所示,
则,ωϕ的值分别是( ) (A )2,3
π
-
(B )2,6
π
-
(C )4,6
π
-
(D )4,
3
π
7、某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示。以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,
[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( )
8、若变量,x y 满足约束条件8,
24,0,0,
x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ,最小值为b ,则a b -的值
是( )
(A )48 (B )30 (C )24 (D )16
9、从椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴
正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) (A )
24 (B )1
2
(C )22 (D )32
11π
12
5π12
2
-2
O
10、设函数()x f x e x a =+-(a R ∈,e 为自然对数的底数)。若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立,则a 的取值范围是( )
(A )[1,]e (B )[1,1]e + (C )[,1]e e + (D )[0,1]
第二部分 (非选择题 共100分)
注意事项:
必须使用0.5毫米黑签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。 11、lg 5lg 20+的值是____________。
12、如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,
AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r
,则λ=____________。
13、已知函数()4(0,0)a
f x x x a x
=+>>在3x =时取得最小值,则a =____________。
14、设sin 2sin αα=-,(,)2
π
απ∈,则tan 2α的值是____________。
15、在平面直角坐标系内,到点(1,2)A ,(1,5)B ,(3,6)C ,(7,1)D -的距离之和最小的点的坐
标是_______。
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分12分)
在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和。
17、(本小题满分12分)
在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且
3
cos()cos sin()sin()5
A B B A B A c ---+=-。
(Ⅰ)求sin A 的值;
(Ⅱ)若42a =,5b =,求向量BA u u u r 在BC uuu
r 方向上的投影。
18、(本小题满分12分)
某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生。
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率
(1,2,3)i P i =;
O
C
A
B
D
(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。
甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分)
运行 次数n
输出y 的
值 为1的频数
输出y 的
值
为2的频数 输出y 的
值
为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2100
1027 376 697
当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的
频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。
19、(本小题满分12分)
如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,122AB AC AA ===,
120BAC ∠=o ,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 上
异于端点的点。
(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11AD
D A ;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AC 于点Q ,求三棱锥11A QC D -的体
积。(锥体体积公式:1
3
V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高)
20、(本小题满分13分)
已知圆C 的方程为22
(4)4x y +-=,点O 是坐标原点。直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两
点。
(Ⅰ)求k 的取值范围;
(Ⅱ)设(,)Q m n 是线段MN 上的点,且222
211
||||||
OQ OM ON =+。请将n 表示为m 的函数。
21、(本小题满分14分)
已知函数22,0
()ln ,0
x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数。设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函
数图象上的两点,且12x x <。
(Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,证明:211x x -≥;
运行 次数n
输出y 的
值 为1的频数
输出y 的
值
为2的频数 输出y 的
值
为3的频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2100 1051 696 353
D 1
D
C
B
A 1
B 1
C 1
A P
f x的图象在点,A B处的切线重合,求a的取值范围。(Ⅲ)若函数()
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