广东肇庆市高要区第二中学(526000)吴
丹
[摘要]增强学生空间感知能力有利于提高学生的空间想象能力,有助于学生学好立体几何。教师可通过帮助
学生建立立体几何基础模型库,制作立体几何基础模型、画直观图、利用数学软件制作动态立体图形来增强学生的空间感知能力。
怎么制作空间[关键词]空间感知能力;立体几何;途径[中图分类号]G 633.6[文献标识码]A [文章编号]1674-6058(2022)05-0017-03
空间感知是人对客观物体的空间特性与空间关系的认识,包括对物体的大小、形状、方位、距离等的知觉。在人教版教材(2019年版)高中数学第二册第96页第八章“立体几何初步”的前言中提到:“立体图形是由现实物体抽象形成的。直观感知、操作确认、推理论证、度量计算,是认识立体图形的基本方法。”加强空间感知教学,有助于提高学生的想象能力,也为其建立空间概念奠定基础。在立体几何的教学中,笔者归纳了增强学生空间感知能力的几种途径。
一、建立立体几何基础模型库
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。“数学建模”是数学六大核心素养之一。立体几何模型是对立体几何知识的集中概括,是凝结在学生头脑中的一系列的加工和认识对象,立体几何就是跟各各样几何模型“打交道”的学科。学生学习数学知识、解题方法的过程,其实就是在建立一个个数学基础模型,再用这些模型去解决一个个或抽象或有具体情境的数学问题的过程。要解决更为复杂的立体几何问题,就要先帮助学生建立好立体几何基础模型库,增强他们的空间感知能力,让他们有将空间问题平面化的本领,有将立体几何问题化归为平面几何问题来处理的能力。
帮助学生建立立体几何基础模型库是一个积累的过程,积累的形式可以多样化。比如,可以借助熟悉的实物来让学生学习空间几何体,让学生在实物观察中培养空间感知能力。例如,在对“棱柱”的认知教学中,我们可以设计如下例题。
[例1]下面命题中正确的是(
)。
A.有一个侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱
B.有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
分析:此题需要用到的是直棱柱、斜棱柱的模型,当教师列举出一个符合选项中题设条件却是斜棱柱的反例后,部分学生懵了。当教师画出斜棱柱的直观图后,还有部分空间感知能力比较弱的学生仍然无法理解。而反例中涉及的实物很难直接得到,此时我们可以拿出一沓大小一致的作业本,将竖直立起来,由此就构建出直棱柱模型;再把这叠作业本倾斜成斜棱柱,它的侧面是2个相对的矩形与2个相对的平行四边形,这样学生就很容易理解了。
反思:通过斜棱柱的实物立体模型,学生对棱柱有了清晰的感知,他们能完成由抽象到具体的转变。在立体几何的学习中,不妨让学生多储备一些立体几何基础模型,让学生在脑海中建立属于他们自己的模型库。
二、制作立体几何基础模型
传统的高中数学教学,几乎没有数学活动与数学实验。开展恰当的数学活动,能加快学生感知、理解、转化空间几何体中线线、线面、面面间位置关系的速度。
例如,在教学“简单几何体的表面积和体积”时,不妨开设一节数学模型制作活动课,把学生分成几个活动小组,让他们用硬卡纸制作常见的立体几何模型,比如圆柱、圆锥、圆台。小组成员先商议出合理的方案,教师对学生强调要确保自己裁剪出的矩形、扇形、扇环与剪出的底面圆粘贴时能做到严丝合缝。这就要求学生对圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图有充分的认识,且能较为精准地度量与计
数学·教学研究
算底面圆和侧面展开图间的关联数据。模型制作
完成后,让学生回顾整个制作过程,填写“立体几何
模型制作小组活动研究报告”表格,并派代表谈谈
制作过程中小组遇到的困难、解决方案和收获,让
他们厘清立体图和展开图之间的关系。
表1立体几何模型制作
小组活动研究报告
班第小组完成时间:
1.本研究小组的成员姓名:
2.制作模型的名称:
3.准备工具:
4.分工情况:
5.制作过程概述:
6.收获与体会:
[例2]如图1是底面半径为3的圆锥,将其放
倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕顶点S滚动,
当圆锥转回原位置时,其本身恰好滚动了3周,则
()。
A.圆锥的母线长为18
B.圆锥的表面积为27π
C.圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为60°
D.圆锥的体积为182π
图1
分析:此题考查了圆锥的表面积和体积公式、
扇形弧长和面积公式、圆锥与其侧面展开图的联
系。空间感知能力不佳的学生难以转化“圆锥在此
平面内绕顶点S滚动,当圆锥转回原位置时,其本
身恰好滚动了3周”这一已知条件,而用硬卡纸制
作过圆锥的学生再做一下滚动实验,就容易得到圆
锥在平面内绕顶点S滚动转回到原位置时平面内
留下的轨迹是以S为圆心,SA为半径的圆,这个圆
的面积等于圆锥侧面积的3倍,即πl2=3×3πl,解
得l=9。用硬卡纸制作过圆锥的学生更能理解圆
锥与其侧面展开图间的联系,其他选项就不难判
断了。
反思:通过用硬卡纸制作几何模型,激发了学
生学习立体几何的兴趣,提升了学生的动手能力,
增强了学生的空间感知能力,提高了学生对圆柱、
圆锥、圆台和其侧面展开图关联性的认知水平,也
提升了解决此类问题的能力。
通过用硬卡纸制作正方体、长方体模型,还可
以让学生进一步理解正方体、长方体的展开图,这
对解答“蚂蚁爬行最短路线”问题有很大帮助。
[例3]如图2所示,长方体的长、宽、高分别为
5cm、4cm、
3cm,一只蚂蚁从A点沿着表面爬行到
C1点的最短路程是多少?
图2
分析:此题涉及的是长方体的展开图,考查学
生对长方体的空间感知能力和将空间问题平面化
处理的能力。如果学生用硬卡纸亲手做过长方体,
那么对于长方体的三种展开方式,学生漏掉其中一
种或两种的概率将大大降低。依题意,长方体
ABCD-A1B1
C
1D1有如图3所示的三种展开图。
图3
学生自制实物模型并展开后,可算得A,C1两
点间的距离AC1=()3+42+52=74(cm),
()
5+32+42=45(cm),()5+42+32=310
(cm)。三者进行比较得74cm为蚂蚁从A点沿着
表面爬行到C1点的最短路程。
反思:通过用卡硬纸制作立体几何模型,增强
学生的空间感知能力和将空间问题平面化处理的
能力。
还可以让学生用细木棍制作正方体、长方体、
正四面体、正四棱锥等常见的多面体的模型,从中
让学生直观感受四棱锥的高与斜高的区别与联系;
在正方体的模型上加上细线可以分割出正四面体,
从而促使学生产生联想,求正四面体的外接球可以
化归为求正方体的外接球。这些模型还有利于学数学·教学研究
生理解线线、线面、面面间的位置关系。例如,有学生较难感知直观图中的异面直线,总认为它们是相交的,这时拿出数学活动中制作好的模型,在上面缠两条细线就可让学生感知两线的位置关系。通过制作立体几何模型可以训练、增强学生的形象思维和逻辑思维,提高学生的空间感知能力。
三、训练学生画直观图
虽然学生亲手制作了常见的立体实物模型,也具备了一定的空间感知能力,但是做题时还是需要将模型从实物中抽象出来,所以要培养学生的作图能力。以实物为依据,以问题为驱动,教师做引导,学生来模仿,在激发学生作图热情的同时,不断纠正其错误,规范其作图。提高学生画直观图的能力,是增强学生空间感知能力的有效方法。
[例4]画出一个三棱台ABC -A'B'C',再用两个平面把它分成3个三棱锥。
分析:此题考查学生的作图能力和空间感知能力。空间感知能力较差的学生对此手足无措,而对三棱台、三棱锥、四棱锥有一定空间感知的学生则能顺利解答此题。三棱台可分割为一个三棱锥和一个四棱锥,此四棱锥又可分割为两个三棱锥(如图4)。引导学生画出对应的两个截面的过程,就是提高学生空间感知能力的过程。
图4
反思:训练学生画直观图,比照实物图和直观图来想象,让学生在头脑中建立起点、线、面的位置关系,从而增强学生的空间感知能力。
四、利用数学软件制作动态立体图形
学生通过手工制作常见的立体几何基础模型,就容易在头脑中形成此模型的空间构造,而对于一些结构复杂的几何体,大部分学生很难光靠自己储备的模型和逻辑推理来完成模型构建。利用动态数学软件(如3D MAX 、GeoGebra 等)可帮助学生建立复杂立体几何模型的直观形象。在课堂上,教师可以用数学软件将动态模型展示给学生,通过平移、旋转指令,让学生多视角观察和感知,这比单纯地去想象更能培养学生的空间感知能力。
[例5]已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长
易件制作空间动态图来让学生观察、感知。
通过GeoGebra 图让学生意识到球面与侧面
BCC 1B 1的交线其实就是小圆的圆弧(本质上就是
用平面BCC 1B 1去截球),用化归思想来处理即可。我们要到球面和侧面BCC 1B 1的两个公共点(侧面上与点D 1距离为5的两点J 和L )和小圆的圆心(点D 1在侧面BCC 1B 1上的射影K ),求出圆
弧的半
径和圆心角就可算出弧长。
反思:利用数学软件帮助学生打开空间感知的新视角后,他们会有豁然开朗之感,学生的空间感
知能力和逻辑推理能力会得到进一步的提高,从而打破限制他们空间思维发展的“天花板”。
增强学生空间感知能力的途径还有很多,教师在教学中要巧妙融合立体几何知识,融入数学实验
和借助信息技术,活跃课堂气氛,启发学生的空间思维,有效增强学生的空间感知能力,构建高效、有魅力的立体几何课堂。
[参考文献]
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(责任编辑黄桂坚)
数学·教学研究
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